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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Suche allgemeine Lösung für diese Gleichung
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Kein bestimmter Bereich J Suche allgemeine Lösung für diese Gleichung
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-26


EDIT: Hallo, habe versehentlich nicht die ganze Formel aufgeschrieben.
KORREKTUR

Hallo, für welche \(n,x \in \mathbb{N}\) ist die Gleichung erfüllt ?

\[f(n,x)=\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=n\]
irgendwie komme ich so noch nicht zurecht ?

Danke, heagar



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-26


Hallo,

du kannst mit $\frac{2^x}{n^2}$ multiplizieren. Du erhaelst
\[(n-1)^2=2^xn^2.\] Die linke Seite der Gleichung sieht irgendwie kleiner als die rechte aus. Warum?



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


EDIT KORREKTUR, sh. Startbeitrag, sorry.

Danke, probiere das jetzt mal.

Gruß haeger



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


Habe mich verrechnet !? stimmt mit der Ausgangsformel nicht.
Weiß nur nicht wo.
Danke für einen Tip, haegar


\[f(n,x)=\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=n\] \[nf(n,x)=\Big(\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}\Big)x+n=n^2\]
\[nf(n,x)=\Big(\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}\Big)x=n^2-n\]
\[ \frac{x}{\sqrt{2^x}} =\frac{n^2-n}{\sqrt{n^2(n-1)^2}}\] \[ \frac{x}{\sqrt{2^x}} =\frac{n^2-n}{n(n-1)}\] \[ x=\sqrt{2^x}\] \[ x^2=2^x\]
Damit wären für x=2 und x= 4 Lösungen.

Die Ausgangsgleichung hat aber viel mehr Lösungen, auch für x=6 oder 8 gibt es Lösungen. Wie kann man die finden ?

Komme hier nicht weiter.






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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-26


Ziehe bei
\[\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=n\] direkt die Wurzel, kürze das $n$, subtrahiere 1 und es folgt
\[\frac{n-1}{2^{x/2}}\cdot x=n-1\] Wenn $n=1$ ist, ist die Gleichung offenbar erfüllt, andernfalls teilen wir durch $n-1$.
Wenn $x$ nicht gerade ist, so ist die linke Seite nicht rational. Wir können also $x=2k$ setzen, dann gilt
\[\frac{k}{2^{k-1}}=1.\] Wie geht es weiter?

Es erfüllen also alle und nur die Paare $(x,n)$ mit $n=1$ oder $x\in \{2,4\}$ die Gleichung.



Die Ausgangsgleichung hat aber viel mehr Lösungen, auch für x=6 oder 8 gibt es Lösungen. Wie kann man die finden ?
Sofern $n\neq 1$ ist, halte ich das für falsch.


In deinen Rechnungen musst du vorsichtiger sein. Wenn du mit $n$ multiplizierst, fügst du $n=0$ als Lösung künstlich hinzu. Umgekehrt darfst du nicht einfach durch $n-1$ teilen, da du dann Lösungen mit $n=1$ unterschlägst.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-26


Ich würde die Gleichung anders umformen.


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Die Lösung ist unabhängig von n.
Für jede Lösung $x_i$ gibt es unendlich viele Tupel als Lösungen, der Form
fed-Code einblenden



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


Ja, da kommt das gleiche raus wie in meinem korrigierten Beitrag #3

\[\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=n\] \[\frac{(n-1)} {\sqrt{2^x}}x=n-1\] \[\frac{(x)}{\sqrt{2^x}}=1\]
Die Ausgangsgleichung hat  weitere Lösungen, die sind zwar ganzzahlig aber nicht gleich n.
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß haegar



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-26


Nein die einzigen Loesungen $(x,n)$ deiner Ausgangsgleichung sind die mit $n=1$ oder $x\in \{2,4\}$. Mehr kann es nicht geben, auch nicht mit $x=6$ oder $x=8$, wenn $n\neq 1$ ist.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-26


Vielleicht hilft diese Umformung, alle Lösungen für x zu finden?

fed-Code einblenden

Demnach müsste x selbst schon, in jedem Fall, eine Potenz von 2 sein.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


Ja, das stimmt, es sind nur Lösungen für x=2 und x=4 vorhanden.
Es gilt aber für alle \(n \in \mathbb{N}\), zumindest wenn man die Werte n in die Ausgangsgleichung mit x=2 oder x=4 eingibt.

Danke
Gruß haegar

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


@TinoRitter

Ja, mit \(\log_{_2}{x^2}=\log_{_2}{2^x}\) ergibt sich \(2 \log_{_2}{x}=x\) und somit \(\log_{_2}{x}=\frac{x}{2}\) und schon bei x=8 ergibt sich \(3\neq4\) Es gibt also keine weiteren Lösungen.

Vielen Dank, auch nochmal an ochen.

Gruß haegar



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-26


Hallo, für welche \(x \in \mathbb{N}\) ist die Gleichung erfüllt für \(n:(9\mod16),\; n\in \mathbb{N}\) ? z.B. für \(n=\lbrace 9,25,41,57...\rbrace\) müsste für \(x=6\) rauskommen.

\[f(n,x)=\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=\frac{3n+1}{4}\]
\[\frac{n-1}{\sqrt{2^x}}x+1=\frac{3n+1}{4}\]
\[\frac{x}{\sqrt{2^x}}+1=\frac{3n+1}{4(n-1)}\]
\[\frac{x}{\sqrt{2^x}}=\frac{3n+1}{4n-4}-1\]
Wie komme ich hier weiter ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-26


Die rechte Seite geht ziemlich schnell gegen $-\frac 14$, sie ist also nur für kleine (endlich viele) $n$ größer als Null. Die rechte Seite ist dagegen stets positiv.



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-08-27


Hallo nochmal

zunächst würde ich die Gleichung anders auflösen und dann zwei Substitutionen prüfen.

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

wähle nun

fed-Code einblenden

dann folgt

fed-Code einblenden

und nun wähle

fed-Code einblenden

dann folgt

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-27


Hallo haegar90,
2019-08-26 18:32 - haegar90 in Beitrag No. 11 schreibt:
(...)
\[\frac{n-1}{\sqrt{2^x}}x+1=\frac{3n+1}{4}\] \[\frac{x}{\sqrt{2^x}}+1=\frac{3n+1}{4(n-1)}\] (...)
Von der hier ersten zur zweiten Zeile hast Du falsch umgeformt. Du hast die $+1$ nicht durch $(n-1)$ geteilt.
Wie schon zuvor würde ich den Wurzelterm erst einmal auflösen und durch $n(n-1)$ teilen, so wie TinoRitter vorgemacht hat. Dann steht da:
$$\frac{x}{\sqrt{2^x}}=\tfrac34$$Die folgenden Substitutionen von Tino bringen nichts. Auch hier ist die Gleichung wieder unabhängig von $n$, was Dich stutzig machen sollte. Es ist richtig, dass $x=6$ eine Lösung ist, wie man durch Einsetzen schnell herausbekommt. Es gibt noch eine weitere Lösung bei $x\approx1.096876$, wie man mithilfe der LambertW-Funktion herausbekommt, aber das ist wohl uninteressant, da $x$ ja ganzzahlig sein soll. Aber dass $n\equiv9\mod 16$ sein soll, ist offenkundig Stuss, da $n$ ja komplett aus der Gleichung rausfällt und somit beliebig sein kann (außer 0 oder 1). Bist Du sicher, dass Du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

Ciao,

Thomas



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-08-27


fed-Code einblenden

substituieren wir nun noch fed-Code einblenden

erhältst du

fed-Code einblenden


Umgestellt folgt:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden fed-Code einblenden


und x ist schritweise rücksubstituiert fed-Code einblenden

Gleichgesetzt und/oder rücksubstituiert erhält man aus fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



Betrachtet man die Logarithmen, müsste $x/3$ eine Potenz von 2 sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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TinoRitter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-08-27


Du erhältst die Logarithmusdarstellung


fed-Code einblenden


auch einfach direkt schon unten aus:


fed-Code einblenden

@MontyPythagoras hat recht. Die Substitutionen sind nicht falsch, aber auch nicht notwendig. Eine Argumentation mit der 1. Lösung ist damit auch überflüssig.

Dies verkürzt die Lösung ungemein.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-27


Vielen Dank an beide,
das hat mir sehr geholfen \(\frac{x^2}{2^x}=\frac{3^2}{2^4}\) womit für x=6 die Lösung bestimmbar ist.

\[f(n,x)=\Big(\frac{\sqrt{\frac{n^2(n-1)^2}{2^x}}}{n}\Big)x+1=\frac{3n+1}{4}\]
Habe eingangs versäumt zu schreiben dass \(f(n,x) \in \mathbb{N_{_u}}\) sein soll. Wenn man Werte für n in die Ausgangsgleichung eingibt dann erhält man nur für \(n: (1 \mod 8)\) ungerade natürliche Zahlen als Lösungen.

Müsste man die Gleichung dann noch einmal nach \(n\) auflösen ?

\[\frac{n-1}{\sqrt{2^x}}x+1=\frac{3n+1}{4}\] \[\frac{x}{\sqrt{2^x}}=\frac{3n+1}{4(n-1)}-\frac{1}{n-1}\] \[\frac{4x}{\sqrt{2^x}}=\frac{3n+1}{n-1}-\frac{4}{n-1}\]
\[4x=3\sqrt{2^x}\]
##Edit: Habe den restlichen Quatsch gelöscht.##


Gruß haegar
@MontyPythagoras, die Aufgabe ist keine abgeschriebene Aufgabe, bin bei der Untersuchung von Zahlen "3n+1" irgendwie darauf gestoßen.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-08-27


Hallo haegar90,
Du machst viele Umformungsfehler. Von der zweiten zur dritten und von der dritten zur vierten Zeile, und dann hatte ich keine Lust mehr.

Du schreibst es schon die ganze zeit unsauber auf. Eine Funktion ist eine Funktion, und diese lautet:
$$f(n,x)=(n-1)\frac x{\sqrt{2^x}}+1$$falls $n > 0$ ist. In dem Moment, wo Du es gleichsetzt mit $\frac{3n+1}4$, ist das daraus entstehende Gebilde keine Funktion mehr, sondern eine Gleichung. Du kannst Überlegungen anstellen, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Funktion ganzzahlig ist, aber das hat mit dem Term $\frac{3n+1}4$ erst einmal gar nix zu tun.

Ciao,

Thomas



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-27


Hallo MontyPythagoras,

ja, da war viel falsch, in meinem #17, ist unerkannt wohl beim kopieren von Formelteilen entstanden.

Es sind da wohl Fallunterscheidungen für $$f(n,x)=(n-1)\frac x{\sqrt{2^x}}+1$$ zu machen. Versuche das mal.

Vielen Dank, haegar



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-08-27


Wenn es am Ende sowieso mit $\frac{3n+1}4$ gleichgesetzt werden muss, dann kannst Du natürlich von vornherein einschränken. $n$ fällt raus, die einzige ganzzahlige Lösung ist $x=6$, und wenn $x=6$ ist, musst Du Dich doch nur noch fragen, wann $\frac{3n+1}4$ ganzzahlig ist, denn dann ist auch $f(n,6)$ ganzzahlig. Und das ist der Fall, wenn $n=4k+1$, also $n\equiv 1 \mod 4$ ist. Aber das gilt eben nur für $x=6$. Für andere $x$ wäre die Funktion bei diesem $n$ nicht unbedingt ganzzahlig.

Ciao,

Thomas



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-27


Ja, so passt es und für \(n=8k+1\) ist \(f(n,6)\) ganzzahling und ungerade.

Gruß haegar



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haegar90 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
haegar90 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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