Die Mathe-Redaktion - 14.10.2019 15:35 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 456 Gäste und 15 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Satz von Fubini/Tonelli
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Satz von Fubini/Tonelli
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-28


Ich hab paar Fragen zu den beiden Sätzen. Soweit ich verstanden habe, lässt uns der Satz von Fubini, sofern anwendbar, ein Integral auf einem Gebiet, auf mehrere eindimensionale Lebesgueintegrale zurückführen. Damit man Fubini anwenden darf, muss die Funktion Lebesgueintegrierbar sein, also die Integrale der positiven/negativen Komponente der Funktion müssen endlich sein. Jetzt hätte ich folgende Fragen:

1.Es geht hierbei um den Satz von Tonelli, der in Wikipedia irgendwie anders definiert ist, als bei uns. Stimmt es, dass man nach diesem Satz bei einer nichtnegativen l.messbaren Funktion nicht die Integrierbarkeit nachprüfen muss ? Ich darf also bei nichtnegativen l.messbaren Funktionen sofort das Integral aufsplitten ?

2.Fubini besagt ja ebenfalls, dass die Integrationsreihenfolge beim aufgesplitteten Integral keine Rolle spielt. Ich hatte aber schon mehrere  Aufgaben, wo ich anscheinend Fubini anwenden durfte, aber die Integrationsreihenfolge nicht beliebig war. Meistens war es so, dass bei einem Integral die Grenzen feste Werte waren und beim anderen Integranden waren die Grenzen teilweise Funktionen. Hat man dann die Reihenfolge unglücklich gewählt, kommt kein Wert raus, sondern eine Funktion nach x oder y. Wieso passiert das ?  



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1609
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-29


Hey Pter87,

tatsächlich geht die Variante des Satzes von Fubini mit einer fast überall nicht-negativen Funktion UND die Version, die bei Wikipedia steht, auf Tonelli zurück. Meistens sagt man aber zu allem einfach nur Satz von Fubini.

Zu 1) Ja.

Zu 2) Das liegt daran, dass du den Satz von Fubini benutzt, ohne genau die Voraussetzungen zu beachten.
In den Voraussetzungen ist die Rede von zwei Maßräumen (zumindest in der allgemeinsten Fassung) \(\Omega_1, \Omega_2\), über deren Produkt \(\Omega_1 \times \Omega_2\) man gerne integrieren würde und man dies tun kann, indem man das entsprechende Doppelintegral berechnet, sofern die zu integrierende Funktion integrierbar bzgl. des Produktmaßes ist.

Diese zwei Mengen \(\Omega_1, \Omega_2\) haben also erst einmal unabhängig von irgendwelchen Integrationsvariablen zu sein! Man kann aber dennoch den Satz von Fubini anwenden, wenn man nicht versehentlich falsch herum integriert, wie ich dir gerne an einem Beispiel mal klar machen möchte:

Sei \(A \subset \mathbb{R}^2\), \(A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq y \leq x \leq 1 \}\) (dann ist \(A\) offenbar ein Dreieck und nicht als Produkt zweier Mengen im \(\mathbb{R}^2\) darstellbar!).
Sei \(f\) messbar und integrierbar über \(A\). Setze \(f\) trivial (also durch 0) auf \(\mathbb{R}^2\) fort.
Offenbar ist \(A \subset [0,1] \times [0,1]\).
Dann ist nach Fubini
\(\int_A f(x,y) \,d(x,y)= \int_{[0,1] \times [0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_A(x,y) \, d(x,y) = \int_{[0,1]} \int_{[0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_A(x,y) \, dx \, dy\)
\(= \int_{[0,1]} \int_{[0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_{[y,1]}(x) \, dx \, dy = \int_{[0,1]} \int_{[y,1]} f(x,y) \, dx \, dy\).

Die Indikatorfunktion kannst du hier auch gar nicht nach außen ziehen, denn so ein Doppelintegral sagt ja, dass du zuerst das innere Integral (hier also \(\int_{[0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_A(x,y) \, dx\)) für ein festes \(y\) integrieren musst.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-30


Mir ist nicht so klar, wieso du jetzt, obwohl du Fubini angewandt hast, unten die Integralreihenfolge nicht vertauschen kannst. Ich meine wenn man doch Fubini anwenden darf, dann sollte das Vertauschen auch möglich sein nach Definition oder verstehe ich was falsch ?

Ich weiß, dass bei Normalbereichen bzgl. x- oder y-Achse die Reihenfolge nicht vertauschbar ist. Bei einem Normalbereich bzgl- x- und y-Achse darf man die Reihenfolge soweit ich weiß immer vertauschen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 364
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-30


Ich habe diesen Thread nicht mitverfolgt, also nur eine kurze Anmerkung:
Versuche bei Theoremen ein anderes Wort als "definieren/Definition" zu verwenden. Sätze werden nicht definiert, sondern sagen etwas aus.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1609
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-30


Bei den Ausdrücken

\(\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_A(x,y) \, dx \, dy\) und \( \int_{[0,1]} \int_{[0,1]} f(x,y) \cdot \mathbf{1}_{[y,1]}(x) \, dx \, dy \) dürfte ich noch munter die Integrationsreihenfolge vertauschen, da \([0,1]\) eine sowohl von \(x\), als auch von \(y\) unabhängige Menge ist. Beim Ausdruck \(\int_{[0,1]} \int_{[y,1]} f(x,y) \, dx \, dy\) ist das nicht mehr so, demnach sagt der Satz von Fubini nichts über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge aus. Und du stellst ja auch selber fest, dass es gar keinen Sinn hätte, hier die Integrationsreihenfolge zu vertauschen. Beim inneren Integral hängt die zu integrierende Menge von \(y\) ab und das äußere Integral sagt, man soll über \(y\) integrieren. Dann kann ich nicht einfach etwas, das von \(y\) abhängt, vor ein solches Integral ziehen.

Wenn du ein Normalbereich bzgl. \(x\) und \(y\)-Achse hast (\(A\) ist genau so etwas), dann kannst du das Integral als Doppelintegral schreiben, in beliebiger Reihenfolge. Allerdings sind die Mengen, über die integriert wird, i.A. verschieden.
Es ist \(A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: ~0 \leq y \leq 1, ~y \leq x \leq 1 \}= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: ~0 \leq x \leq 1, ~0 \leq y \leq x \}\) . Demnach ist
\(\int_A f(x,y) \,d(x,y) = \int_{[0,1]} \int_{[y,1]} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{[0,1]} \int_{[0,x]} f(x,y) \, dy \, dx \).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pter87
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 52
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-31


2019-08-30 14:23 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich habe diesen Thread nicht mitverfolgt, also nur eine kurze Anmerkung:
Versuche bei Theoremen ein anderes Wort als "definieren/Definition" zu verwenden. Sätze werden nicht definiert, sondern sagen etwas aus.

Stimmt, danke für die Anmerkung

Jetzt zu Fubini:

Was ist denn, wenn ich z.B. ein Integral hätte, was ich in drei eindimensionale Integrale aufsplitten würde und nur eins dieser Integrale hätte variable Grenzen. Z.B. ein Normalbereich bez. der z-achse. Es ist klar, dass ich das Integral mit der variablen Grenze nicht ans Ende schreibe, aber spielt es eine Rolle ob dieses Integral in der Mitte oder ganz rechts steht ?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1609
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-01


Nein, wichtig ist dabei nur, dass die in den Integralgrenzen vorkommenden Variablen erst nachher integriert werden.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]