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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Riemannsche Summen » Schritt in der allgemeinen Riemann-Summe von e^x
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Universität/Hochschule J Schritt in der allgemeinen Riemann-Summe von e^x
psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-29


Hallo zusammen,

Ich lese gerade ein Skript, in dem über Riemann-Summen gezeigt wird, dass $$\int_{a}^{b} e^x dx = e^b-e^a$$. Leider habe ich schon gleich zu Beginn ein Verständnisproblem.

Zum Hintergrund: Wir hatten die Unterteilung eines Intervalls $[a,b] \subset \mathbb{R}$ dargestellt als: $[a,b] = [x_0,x_1]\cup [x_1,x_2]\cup...\cup[x_{m-1},x_m]$ mit $a = x_0<x_1<x_2<...<x_{m-1}<x_m = b$. Die Feinheit der Unterteilung ist: $d(\{x_i\}) =$ max$|x_{j-1}-x_j|=$ max$\triangle x_j$. Der Stützpunkt in jedem Teilintervall $[x_{j-1}-x_j]$ heißt $\xi_j$, und $f(\xi_j)$ ist der dazugehörige Stützwert. Die Riemannsche Summe entspricht schließlich: $$\rho(f;\{x_j\},\{\xi_j\}) = \sum_{j=1}^{m} f(\xi_j)\triangle x_j =  \sum_{j=1}^{m} f(\xi_j)(x_j-x_{j-1})$$.

Schwierigkeiten bereitet mir nun der Schritt von  $$\sum_{j=1}^{m} e^{\xi_j}\triangle x_j = e^b-e^a+\sum_{j=1}^{m}(e^{\xi_j}-\frac{e^{x_j}-e^{x_{j-1}}}{x_j-x_{j-1}})\triangle x_j$$,

wobei der erste Schritt noch nachvollziehbar ist. Zuvor hatten wir eine Riemann Summe der Funktion $f(x)=x$ gebildet, in welcher der selbe erweiternde Schritt mir noch intuitiv vorkam, deshalb bin ich jetzt umso verwunderter. Wenn also irgendwer Hinweise oder Erklärungen für die Zulässigkeit dieser Umformung hat, wäre ich sehr dankbar.



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-29


Es ist zuerst \(\Delta x_{j} = x_{j} - x_{j - 1}\). Dann gilt:
\[\begin{eqnarray*}
&   & \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \\
&   & \, \, \, \, - \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j}.
  \end{eqnarray*}\] Beachte jetzt, dass \(\Delta x_{j} = x_{j} - x_{j - 1}\) gilt. Dann erhältst du eine Teleskopsumme, die dich auf dein gewünschtes Resultat führen sollte.



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-29


Danke für die Mühe, hat mir sehr geholfen.



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-29


Wobei, im weiteren Verlauf stellt sich mir noch eine Frage. Im nächsten Schritt sind wir nun bei:

$= e^b-e^a+\sum_{j=1}^{m}(e^{\xi_j}-e^{\eta_j})\triangle x_j$ mit $\xi_j, \eta_j \in [x_{j-1}, x_j]$.

Was ich als einen Anwendung des Mittelwertsatzes verstehen.

Dann jedoch folgt: "sodass:

$e^{\xi_j}-e^{\eta_j}=e^{\zeta_j}(\xi_j-\eta_j)$ mit $\zeta \in [x_{j-1},x_j]$,

woraus dann gefolgert wird, dass

$|\rho-I| \leq \sum_{j=1}^{m}e^b \triangle x_j \cdot \triangle x_j \leq e^b \cdot \delta \cdot(b-a) \leq \epsilon$

(wobei wir zuvor festgelegt hatten, dass $$I=\int_{a}^{b}e^x$$)

sobald

$\delta \leq \frac{\epsilon}{e^b(b-a)}$.

Könntest du hier vielleicht auch mit erklärenden Zwischenschritte helfen? Weil mir trotz großer Mühe die Intuition fehlt.




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svrc
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Dabei seit: 01.10.2008
Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-29


Wenn wir die ersten Schritte nochmal aufgreifen, gilt
\[\begin{eqnarray*}
&   & \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \\
&   & \, \, \, \, - \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \cdot \left( x_{j} - x_{j - 1} \right) \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}} \right) \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \left( e^{b} - e^{a} \right).
  \end{eqnarray*}
\] Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert ein
\[ \eta_{j} \in (x_{j - 1}, x_{j}) \] derart, dass
\[\dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} = e^{\eta_{j}}\] gilt. Damit folgt
\[\begin{eqnarray*}
&   & \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \\
& = & \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - \dfrac{e^{x_{j}} - e^{x_{j - 1}}}{x_{j} - x_{j - 1}} \right) \Delta x_{j} + \left( e^{b} - e^{a} \right) \\
& = & \left( e^{b} - e^{a} \right) + \sum\limits_{j = 1}^{m} \left( e^{\xi_{j}} - e^{\eta_{j}} \right) \Delta x_{j}.
  \end{eqnarray*}
\] Weiter existiert nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ein
\[ \zeta_{j} \in ( x_{j - 1}, x_{j} )\] derart, dass
\[ e^{\xi_{j}} - e^{\eta_{j}} = e^{\zeta_{j}} \cdot \left( \xi_{j} - \eta_{j} \right) \] gilt. Damit folgt mit der Dreiecksungleichung
\[ \left| \left( \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \right) - \left( e^{b} - e^{a} \right) \right| \leq \sum\limits_{j = 1}^{m} \left|  e^{\zeta_{j}} \cdot \left( \xi_{j} - \eta_{j} \right) \cdot \Delta x_{j}. \right| \] Wegen der Monotonie der Exponentialfunktion gilt \(e^{x} \leq e^{b}\) für alle \( x \in \left[ a, b \right] \). Da \(\delta\) ein Maß für die "Feinheit" der Partition des Intervalles \(\left[ a, b \right]\) ist, kann für alle \(\varepsilon > 0\) dieses \(\delta\) so gewählt werden, dass
\[\delta \leq \dfrac{\varepsilon}{e^{b} \left( b - a \right)}\] ist. Es ist dabei aufgrund der zweimaligen Anwendung des Mittelwertsatzes einzusehen, dass
\[ \left| \xi_{j} - \eta_{j} \right| \leq x_{j} - x_{j - 1} = \Delta x_{j} \leq \max\limits_{j = 1, \ldots, m} \Delta x_{j}\] gilt. Dies entspricht der Wahl der "Feinheit" der Partition. Dann folgt nämlich
\[\left| \varrho - I \right| = \left| \left( \sum\limits_{j = 1}^{m} e^{\xi_{j}} \Delta x_{j} \right) - \left( e^{b} - e^{a} \right) \right| \leq \sum\limits_{j = 1}^{m} \left| e^{\zeta_{j}} \cdot \left( \xi_{j} - \eta_{j} \right) \cdot \Delta x_{j} \right| \leq e^{b} \cdot \delta \cdot \sum\limits_{j = 1}^{m} \Delta x_{j} = e^{b} \cdot \delta \cdot \left( b - a \right) \leq e^{b} \cdot \dfrac{\varepsilon}{e^{b} \left( b - a \right)} \cdot \left( b - a \right) = \varepsilon.\] Dies beweist dann die Riemann-Integrierbarkeit der Exponentialfunktion.



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psyphy
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Wow, sehr gute und detaillierte Erklärung, vielen Dank.



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psyphy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
psyphy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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