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Universität/Hochschule * Kriterium für abelsche Gruppe
helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-31


Kleine Übung in Gruppentheorie. Ich denke, ich habe eine Lösung.

Aus Hungerford, Algebra

Auszug aus Exercise I.1.11:

Sei \(G\) eine Gruppe und für ein \(n \ge 0\) und alle \(a,b \in G\) gelte: \((ab)^{n+i} = a^{n+i}b^{n+i}, \; i=0,1,2\).

Dann ist \(G\) abelsch. Gib ein Gegenbeispiel, dass die Bedingung \(i=0,1\) nicht ausreichend ist.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-31


Nimm eine nicht kommutative Gruppe der Ordnung n.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-02


Mangels Antworten in die Rätsel-Ecke verschoben.

Antworten können direkt hier gepostet werden. Schöne Antworten wären etwa so:

\(ba = \dots = ab\)


[Verschoben aus Forum 'Gruppen' in Forum 'Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)' von helmetzer]



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-02


"beinahe Einzeiler"
Aus $(ab)^{n+i}=a^{n+i}b^{n+i}$ folgt direkt $(ab)^{-n-i}=b^{-n-i}a^{-n-i}$. Dann gilt:
$$ \begin{array}{*}
ab  & = a^{n+1}a^{-n}b^{-n}b^{n+1} = a^{n+1}(ba)^{-n}b^{n+1} \\
 & = a^{n+1}(ba)^{-n-1}(ba)^{n+2}(ba)^{-n-1}b^{n+1} \\
 & = a^{n+1}a^{-n-1}b^{-n-1}b^{n+2}a^{n+2}a^{-n-1}b^{-n-1}b^{n+1} \\
 & = ba
\end{array}
$$




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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-02

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} 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Hi helmetzer.


Zeigen, dass $ab=ba$ gilt ist äquivalent dazu zu zeigen, dass $b\in \ker(c_b)$, wo $c_b\colon G\to G, g\mapsto bgb^{-1}$.

$\ker(c_b)$ ist bekanntlich eine Untergruppe.

Wenn wir zeigen könnten $a^n,a^{n+1}\in \ker(c_b)^*$, dann folgte $a=a^{n+1}(a^n)^{-1}\in \ker(c_b)$.

Wir wollen also $ba^nb^{-1}=a^n$ und $ba^{n+1}b^{-1}=a^{n+1}$ zeigen.
Anders geschrieben ist das
$ba^n=a^nb$ und $ba^{n+1}=a^{n+1}b$.

Um die Voraussetzungen anwenden zu können brauchen wir auch potenzen von $b$.

Es liegt also nahe mit $b^{n-1}$ zu erweitern:
$b^na^n=b^{n-1}a^nb$. Links können wir eine Voraussetzung anwenden, rechts aber nicht.

Deshalb scheint es vielversprechender den obigen Ausdruck noch mit $b$ von links und mit $a$ von rechts zu erweitern:

$b^{n+1}a^{n+1}=b^na^nba$.
Wenden wir die Voraussetzungen $V_n$ und $V_{n+1}$ an erhalten wir
$(ba)^{n+1}=(ba)^nba$, eine wahre Aussage.

Da wir nur Äquivalenzumformungen gemacht haben ist hiermit $a^n\in \ker(c_b)$ bewiesen.

Auf genau die gleiche Art und Weise zeigt man $a^{n+1}\in \ker(c_b)$ unter Verwendung von $V_{n+1}$ und $V_{n+2}$.

$\qed$

Ich bin mir sicher, dass es schönere Lösungen gibt, aber ich bin eben kein Experte.

$\viele$


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

EDIT:
@TomTom very nice! :D

EDIT2:
*Es sollte $\ker(c_b-\id_G)$ sein. Danke TomTom für den Hinweis.

EDIT3:
Das macht noch weniger Sinn. Was ich meinte war:

$ba^nb^{-1}=a^n,ba^{n+1}b^{-1}=a^{n+1}\implies ba^{-n}b^{-1}=a^{-n},ba^{-n-1}b^{-1}=a^{-n-1}\implies a=a^{n+1}a^{-n}=ba^{n+1}b^{-1}ba^{-n}b^{-1}=bab^{-1}$



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-02


Hallo TomTom, ich sehe in deiner Lösung nur, dass der Fall \(n + 2\) verwendet wird.

Aber irgendetwas muss ich da wohl übersehen haben.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-02


Hallo Helmetzer,

ich benötige schon alle 3 Bedingungen.
In der ersten Zeile n bzw. -n und von der zweiten auf die dritte -(n+1), n+2 und -(n+1) in der Reihenfolge.


Zusatzfrage: Unter welchen Bedingungen würe i=0,1 schon ausreichen? (Offensichtlich für n=1)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-02


@XST: Über Deine Vorschlag habe ich noch ein wenig nachgedacht. $c_b$ ist immer ein Iso :/

Mit den Vorraussetzungen $V_n,V_{n+1}$ erhalten wir
$$a(ab)^nb =a^{n+1}b^{n+1}=(ab)^{n+1} =a(ba)^nb\Rightarrow (ab)^n =(ba)^n\ .$$ In Kombination mit $V_{n+1},V_{n+2} \Rightarrow (ab)^{n+1} =(ba)^{n+1}$ ergibt dieses $ab=ba$. (Das dürfte in etwas das sein, was Du gerne zeigen möchtest ?!)


Ich bin noch auf der Suche nach einem etwas "gruppentheoretischerem" Zugang. Definiere $U_k:=\{u\in G \mid \exists g\in G:u=g^k\}$. Aus der Bedingung $V_n$ folgt dann, dass $\varphi_n:G\to G; g\mapsto g^n$ ein Gruppenhomomorphismus ist mit $U_n\cong G/\ker \varphi_n$. Derzeit vermute ich: $G$ kommutativ $\iff U_2$ Untergruppe (und Quotient von G ?)... $G$ ist genau dann kommutativ, wenn $\varphi_2$ ein Gruppenhomomorphismus ist.



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