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Mathematik » Zahlentheorie » abc-vermutung reloaded
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Universität/Hochschule J abc-vermutung reloaded
juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-31


grossteils aus
Abc-Vermutung.

Definition und Beispiel $radical(n \in \IN)$ :

$\displaystyle \operatorname {rad} (600)=\operatorname {rad} (2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2})=2\cdot 3\cdot 5=30$.

Es gilt für ein sog. abc-Tripel (ab teilerfremd damit auch zu ac, bc,abc) die Ungleichung:

$\displaystyle \operatorname {rad} (abc)\leq c$.

(1)Masser bewies, dass das Verhältnis $\displaystyle {\tfrac {\operatorname {rad} (abc)}{c}}$ beliebig klein werden kann, ...

Meine Frage echt jetzt ?

Man gebe mir ein Tripel $\displaystyle a+b=c$ mit $\displaystyle {\tfrac {\operatorname {rad} (abc)}{c}} \lt 10^{-6}$  

In den Anmerkungen:

Ein einfacher Beweis nach Wojtek Jastrzebowski und Dan Spielman findet sich bei Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, 1993, S. 94.

(G)
Ihr Gegenbeispiel zur abc-Vermutung mit $\displaystyle \epsilon =0$  ist $\displaystyle a=1,b=3^{2^{k}}-1,c=3^{2^{k}}$.

(*)Man beweist durch Induktion, dass b durch $\displaystyle 2^{k}$ teilbar ist.

Und
"Das ergibt eine Ungleichung, die nicht für alle k erfüllt sein kann."

sagt Herr Wojtek Jastrzebowski ...
Welche Ungleichung? Warum nicht?

$k=1: 1+8=9,rad(abc)=2*3=6,\frac{rad(abc)}{c}= 0.666..$
$k=2: 1+80=81, rad(abc)=2*5*3=30,\frac{rad(abc)}{c}= 30/81=0,370..$
$k=3: 1+728=729, rad (abc)= 2^3*13*7,\frac{rad(abc)}{c}=2*13*7/729= 0,2496..$.
$k=10: 1+(3^{20}-1)=3^{20},1+3486784400 = 3^{20}=3486784401$
$b= 2^4* 5^2 *11^2* 61* 1181$
$rad(b)=2* 5 *11*61*1181$.
$rad(c)=3$
$rad(abc)=rad(a)*rad(b)*rad(c)=3*2*5*11*61*1181=23773530<3486784401,\frac{rad(abc)}{c}=0,0068...$.

(2)Für $\displaystyle a+b+c=1+3^{2k}-1=3^{2k}$ faellt nach erster Anschauung $\displaystyle \frac{rad(abc)}{c}$ (streng ?) monoton.
Dann wäre bei strenger Monotonie
$\displaystyle \forall \epsilon>0 \frac{rad(abc)}{c}< \epsilon$  nach einem Konvergenzsatz erfüllt.
Aber fällt $\displaystyle \frac{rad(abc)}{c}$ nach (1) wirklich streng monoton?

Ich führe mal eine Induktion durch:
Per (2) ist der Induktonsanfang x:
(A)$\displaystyle a=1,b=3^{2^{1}}-1,c=3^{2^{}}, 1+8=9, rad(abc=0,666 <1 )$.

Der Induktonsschritt ist aus
(B)$\displaystyle k=k_0,b_0=3^{2k_0^{1}}-1,
c_0=3^{2k_0} , \frac{rad(abc)}{c_0} = r_0 < c_0$ folgt:

(C)$\displaystyle k_1=k_0+1,b_1=3^{2(k_0+1)}-1,c)1=3^{2(k_0+1)}=c_1=9*3^{2k_0}$

Ist $\displaystyle r_1= \frac{rad(abc)}{c} < r_0$?
Zu finden ist die PfZ von $b_1=9*3^{2k_0}-1$
Und ist
$\displaystyle r_{k+1}= \frac{rad(ab_{k+1}c_{k+1}}{c_{k+1}} < r_{k+1} = \frac{rad(a\cdot b_0\cdot c_0)}{c_0}$?

Mit anderen Worten den Schritt C krieg ich nicht

Im Zähler $rad(ab_1c_1)$ kommt nur eine 3 fuer $c_{k+1}$ mehr dazu.
das heisst $rad(ab_1c_1)$ wird nicht veraendert gegenueber $rad(ab_0c_0)$  durch $c_1$. usw.
Aber wie veraendert sich $b_{k+1}$ zu $b_{k}$?

siehe unten durch (*Bk*)

Die Beh (*) von oben:
Sind  nach Beh. (*) ALLE $\displaystyle b_i$ durch $\displaystyle 2^{k_i}$ teilbar?

(4)
$\displaystyle k=1, b=8$ wird geteilt durch $2^1=2$.
$\displaystyle k=2  b=80$ wird geteilt durch $2^2=4$.
$\displaystyle k=3  b=728$ wird geteilt durch $2^3=8$.

OK.

(*Bk*)
(wahrscheinlich soll nur das durch Induktion bewiesen werde, ewas aus den binomische gesezten leicht folgt:
$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}b+..ab^{n-1})$.

Welche Ungleichung aber kann nicht für alle k erfüllt sein. (??)
Inwiefern ist das ein Gegenbeispiel zur abc-Vermutung mit ϵ = 0 ist, will ich nicht so richtig bekommen.
Wenn der Induktionsschritt (C) stimmt finde ich tatsaechlich sehr kleine $\frac{rad(abc)}{c}$ .

Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, habe ich leider nicht.

Zeigt obiges Bsp., dass
(abc0): fuer $\epsilon =0$ ein K existiert, dass
(abc1): fuer $\epsilon =0$ Kein  K existiert, dass
(abc2):oder dass eben kein K fuer $\epsilon >0$ existiert,
oder dass
(abc3):eben ein K fuer jedes $\epsilon >0$ existiert in der allgemeinen formulierten Abc-vermutung.

in
(ABC) :
$\displaystyle c < K_\epsilon \cdot \left(\frac{rad(abc)}{c}\right)^{1+epsilon}$?

Obiges (G) ist ein gegenbeispiel fuer abc1 meine ich..oder was ist gemeint?

Schöner ist die Darstellung
(LogABC) :

$\displaystyle log(c) < log(K_\epsilon)+(log(rad(abc))-log(c))\cdot (1+epsilon)$



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-01


Moin Jürgen,

dein Beitrag ist wieder mal nicht sehr leserfreundlich (um es freundlich zu sagen). Was genau ist jetzt deine Frage, was die Voraussetzungen, was das zu zeigende?

Für <math>a=1</math>, <math>b=3^{2^k}-1</math> und <math>c=3^{2^k}</math> ist offenbar einerseits <math>a+b=c</math> und andererseits <math>\mathrm{rad}(abc)\leq 3 \cdot 2 \cdot \frac{3^{2^k}-1}{2^k}<\frac{6}{2^k} \cdot c</math> bzw. <math>c>\frac{2^k}{6} \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+0}</math>, sodass es für <math>\epsilon=0</math> keine Konstante <math>K</math> gibt, sodass für alle Tripel <math>(a,b,c)</math> natürlicher Zahlen mit <math>a+b=c</math> die Ungleichung <math>c<K \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+\epsilon}=K \cdot \mathrm{rad}(abc)</math> gilt.

Deine weiteren Ausführungen sind völlig unklar...

Cyrix



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juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 83
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-02


2019-09-01 10:39 - cyrix in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin Jürgen,

dein Beitrag ist wieder mal nicht sehr leserfreundlich (um es freundlich zu sagen). Was genau ist jetzt deine Frage, was die Voraussetzungen, was das zu zeigende?

Für <math>a=1</math>, <math>b=3^{2^k}-1</math> und <math>c=3^{2^k}</math> ist offenbar einerseits <math>a+b=c</math> und andererseits <math>\mathrm{rad}(abc)\leq 3 \cdot 2 \cdot \frac{3^{2^k}-1}{2^k}<\frac{6}{2^k} \cdot c</math> bzw. <math>c>\frac{2^k}{6} \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+0}</math>, sodass es für <math>\epsilon=0</math> keine Konstante <math>K</math> gibt, sodass für alle Tripel <math>(a,b,c)</math> natürlicher Zahlen mit <math>a+b=c</math> die Ungleichung <math>c<K \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+\epsilon}=K \cdot \mathrm{rad}(abc)</math> gilt.

Cyrix

Ja danke.
Ich verstand nicht den Satz in den Anm.:

"Das ergibt eine Ungleichung, die nicht für alle k erfüllt sein kann."

Gemeint ist: kein K ist gross genug fuer gewisse a,b,c (s.o.) in letzter Gleichung <math>c<K \cdot \mathrm{rad}(abc)^{1+\epsilon}</math>, wenn epsilon =0 ist, aber es gibt immer ein K fuer beliebig kleine epsilon >0.




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juergenX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
juergenX hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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