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Analysis » Integration » Substitutionsregel: Begründung für Verfahren bei unbestimmtem Integral
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Universität/Hochschule J Substitutionsregel: Begründung für Verfahren bei unbestimmtem Integral
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-01


Ich beziehe mich auf die folgende Definition und Beweis der Substitutionsregel für Integrale:



Der Beweis wäre doch gar nicht mehr so umsetzbar, wenn es um ein Integral ohne Integrationsgrenzen geht. Oder?

Ein Beispiel:

Sei $x\in (-1,1)$

$\int_{}^{}\arcsin x \,\text{d}x=x\arcsin x-\int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x$

Mit welcher Begründung kann ich jetzt $t=1-x²$ setzen? *

-----
Wenn ich die Begründung ignoriere sind die nächsten Schritte klar, da $ \text{d}x=-\frac{\text{d}t}{2x}$ folgt $
\int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x=-0,5\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t}} \,\text{d}t=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x²}$

Was man dann oben nur noch einsetzen muss, um die Stammfunktion zu erhalten.

Ich kenne zwar die Vorgehensweise aus der Schule, aber nur basierend auf dem Beweis für bestimmte Integrale(Siehe Link), wäre ich jetzt nicht darauf gekommen.

-------
*
Ich füge mal meine Vorgehensweise an, wenn es Integrationsgrenzen gäbe.
Setze $\phi(x)=1-x^2$, dann gilt für $f(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}$:

$\int_{a}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x=-0,5\int_{a}^{b}f(\phi(x))\cdot \phi'(x) \,\text{d}x=-0,5\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(y)\,\text{d}y$

$y$ ist unabhängig von $x$!!!

Bei dem unbestimmten Integral ist $t=y=\phi(x)$, also abhängig!!! von $x$, das finde ich irritierend



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-01


Hallo

Du kannst alles substituieren, was du willst. Ob es zielführend ist, ist eine andere Frage.

Gruß Caban



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Danke :)


2019-09-01 20:37 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Du kannst alles substituieren, was du willst. Ob es zielführend ist, istr eine andere Frage.

Gruß Caban

hmmm, davon bin ich noch nicht so ganz überzeugt, aktuell komme ich aber nicht auf ein kokretes Argument dagegen.

Kann jemand kurz auf die andere Frage eingehen, welche ich nochmal etwas anders stellen möchte:

In meinem Buch wird die Substitutionsregel nur für bestimmte Integrale bewiesen, der Beweis ist identisch wie bei Wikipedia, dann wird aber einfach mit Hilfe der Substitutionsregel ein unbestimmtes Integral gelöst, warum ist das kein Problem?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-02


Hallo

Ich denke auch hier ist es so: kein Widerspruch, also geht es.

Gruß Caban



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-07


Hallo Sambucus,
man kann das unbestimmte Integral als bestimmtes Integral mit variabler oberer (oder unterer) Intervallgrenze definieren (https://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Unbestimmtes_Integral)

\(\int f(x) \text{d}x = \int_{x_0}^x f(x) \text{d}x + C\)

\(\int f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t = \int_{t_0}^t f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t + C\)

und dann auf der rechten Seite der Gleichungen die Substitutionsregel für bestimmte Integrale anwenden.



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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07


2019-09-07 06:55 - StefanVogel in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Sambucus,
man kann das unbestimmte Integral als bestimmtes Integral mit variabler oberer (oder unterer) Intervallgrenze definieren (https://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Unbestimmtes_Integral)

\(\int f(x) \text{d}x = \int_{x_0}^x f(x) \text{d}x + C\)

\(\int f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t = \int_{t_0}^t f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t + C\)

und dann auf der rechten Seite der Gleichungen die Substitutionsregel für bestimmte Integrale anwenden.

Danke, jetzt ist es mir klarer :)



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