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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Substitutionsregel: Begründung für Verfahren bei unbestimmtem Integral
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Autor
Universität/Hochschule J Substitutionsregel: Begründung für Verfahren bei unbestimmtem Integral
Sambucus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 59
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-01


Ich beziehe mich auf die folgende Definition und Beweis der Substitutionsregel für Integrale:

de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Aussage_der_Substitutionsregel

Der Beweis wäre doch gar nicht mehr so umsetzbar, wenn es um ein Integral ohne Integrationsgrenzen geht. Oder?

Ein Beispiel:

Sei $x\in (-1,1)$

$\int_{}^{}\arcsin x \,\text{d}x=x\arcsin x-\int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x$

Mit welcher Begründung kann ich jetzt $t=1-x²$ setzen? *

-----
Wenn ich die Begründung ignoriere sind die nächsten Schritte klar, da $ \text{d}x=-\frac{\text{d}t}{2x}$ folgt $
\int_{}^{}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x=-0,5\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t}} \,\text{d}t=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x²}$

Was man dann oben nur noch einsetzen muss, um die Stammfunktion zu erhalten.

Ich kenne zwar die Vorgehensweise aus der Schule, aber nur basierend auf dem Beweis für bestimmte Integrale(Siehe Link), wäre ich jetzt nicht darauf gekommen.

-------
*
Ich füge mal meine Vorgehensweise an, wenn es Integrationsgrenzen gäbe.
Setze $\phi(x)=1-x^2$, dann gilt für $f(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}$:

$\int_{a}^{b}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,\text{d}x=-0,5\int_{a}^{b}f(\phi(x))\cdot \phi'(x) \,\text{d}x=-0,5\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(y)\,\text{d}y$

$y$ ist unabhängig von $x$!!!

Bei dem unbestimmten Integral ist $t=y=\phi(x)$, also abhängig!!! von $x$, das finde ich irritierend



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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-01


Hallo

Du kannst alles substituieren, was du willst. Ob es zielführend ist, ist eine andere Frage.

Gruß Caban



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Sambucus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 59
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Danke :)


2019-09-01 20:37 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo

Du kannst alles substituieren, was du willst. Ob es zielführend ist, istr eine andere Frage.

Gruß Caban

hmmm, davon bin ich noch nicht so ganz überzeugt, aktuell komme ich aber nicht auf ein kokretes Argument dagegen.

Kann jemand kurz auf die andere Frage eingehen, welche ich nochmal etwas anders stellen möchte:

In meinem Buch wird die Substitutionsregel nur für bestimmte Integrale bewiesen, der Beweis ist identisch wie bei Wikipedia, dann wird aber einfach mit Hilfe der Substitutionsregel ein unbestimmtes Integral gelöst, warum ist das kein Problem?



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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 478
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-02


Hallo

Ich denke auch hier ist es so: kein Widerspruch, also geht es.

Gruß Caban



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StefanVogel
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Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3345
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-07


Hallo Sambucus,
man kann das unbestimmte Integral als bestimmtes Integral mit variabler oberer (oder unterer) Intervallgrenze definieren (https://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Unbestimmtes_Integral)

\(\int f(x) \text{d}x = \int_{x_0}^x f(x) \text{d}x + C\)

\(\int f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t = \int_{t_0}^t f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t + C\)

und dann auf der rechten Seite der Gleichungen die Substitutionsregel für bestimmte Integrale anwenden.



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Sambucus
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 59
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07


2019-09-07 06:55 - StefanVogel in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Sambucus,
man kann das unbestimmte Integral als bestimmtes Integral mit variabler oberer (oder unterer) Intervallgrenze definieren (https://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Unbestimmtes_Integral)

\(\int f(x) \text{d}x = \int_{x_0}^x f(x) \text{d}x + C\)

\(\int f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t = \int_{t_0}^t f(\phi(t)) \phi'(t) \text{d}t + C\)

und dann auf der rechten Seite der Gleichungen die Substitutionsregel für bestimmte Integrale anwenden.

Danke, jetzt ist es mir klarer :)



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