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Mathematik » Zahlentheorie » Produkt der ersten n geraden Zahlen geteilt durch das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen
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Universität/Hochschule J Produkt der ersten n geraden Zahlen geteilt durch das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen
matheric
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-01


Hallo,

in einem Lehrbuch bin ich auf diesen interessanten Zusammenhang gestoßen:
$$ \frac{\prod _{k=1} ^n 2k}{\prod _{k=1} ^n (2k+1)} = \frac{2^{2n} \cdot (n!)^2}{(2n+1)!} $$
Allerdings bin ich auch noch langem überlegen nicht auf die gedankliche Herleitung dieses Zusammenhangs gekommen. Kann jemand einen Tipp geben? :-?
Vielen Dank für eure Hilfe  :-)



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-01


Hallo,

dazu ist kein besonderer Trick nötig. Der Zähler ist einfach, nehm ich mal an? Die 2 rausziehen, dann steht eine Fakultät da. Der Nenner: Das Produkt aller ungeraden Zahlen bis 2n+1 ist das Produkt aller Zahlen bis 2n+1 geteilt durch das Produkt aller geraden Zahlen bis 2n.


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-01


Hallo,
erweitere so, daß im Nenner eine Fakultät steht
Gruß Wauzi

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-01


2019-09-01 21:21 - matheric im Themenstart schreibt:
in einem Lehrbuch bin ich auf diesen interessanten Zusammenhang gestoßen:
$$ \frac{\prod _{k=1} ^n 2k}{\prod _{k=1} ^n (2k+1)} = \frac{2^{2n} \cdot (n!)^2}{(2n+1)!} $$
Allerdings bin ich auch noch langem überlegen nicht auf die gedankliche Herleitung dieses Zusammenhangs gekommen. Kann jemand einen Tipp geben? :-?

Zunächst herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Um von der linken auf die rechte Seite deiner Gleichung zu kommen, muss du einfach den linksstehenden Bruch mit seinem Zähler erweitern. Probier es doch zuerst einmal für ein spezielles $n$, z.B. $n=3$, einfach mal aus und überlege dir erst dann, warum es allgemein so funktioniert!

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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matheric
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-01


Vielen Dank! Da stand ich offensichtlich auf dem Schlauch. Ist ja doch sehr trivial.



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