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Analysis » Funktionalanalysis » Normabschätzung von inverser Matrix
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Universität/Hochschule Normabschätzung von inverser Matrix
Monom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-04


Hallo liebe Planetarier,

ich habe eine beliebige reelle quadratische Matrix $A$ gegeben.
Dazu noch einen Skalar $\tau \geq 0$.

Nun definiere man eine Konstante $\nu$ durch
\[ \nu = \sup_{x\neq 0} \frac{(x, Ax)}{\lVert x \rVert^2}, \] wobei $( \cdot , \cdot)$ das Standard-Skalarprodukt und $\lVert \cdot \rVert$ die euklidische Norm ist.

Ich möchte gerne wissen, ob unter der Voraussetzung $\nu < 0$ an die Matrix $A$ folgendes gilt:
\[ \left\lVert \left( I - \tau A\right)^{-1} \right\rVert \leq \frac{1}{1 - \nu \tau} \]
Es muss relativ einfach zu sehen sein, denn es wird in meinem Buch stillschweigend verwendet. Leider sehe ich es aber nicht.

Es könnte über die Neumann-Reihe klappen, wenn $\tau$ hinreichend klein ist. Allerdings ist $\tau$ hier unbeschränkt.

Viele Grüße
Monom



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-05


Hallo Monom,

da das mit der Neumannreihe nicht funktioniert, ist es vielleicht interessant und hilfreich (?) sich zu überlegen, warum $I-\tau A$ überhaupt invertierbar ist?
Ist aber $0\neq x\in V$ mit $(I-\tau A)x=0$, so ist $0=<x,(I-\tau A)x> = ||x||^2 - \tau <x,Ax>$ und damit $0= 1 - \tau \frac{<x,Ax>}{||x||^2} \geq 1- \nu \tau > 0$ ein Widerspruch.
Für Weitere Rechnunge habe ich im Moment wenig Zeit.

Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Monom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-06


Hallo Creasy,

danke für Deine Überlegungen.
Leider haben sie mich bislang nicht weitergebracht. Hast Du vielleicht noch eine andere Idee?

Viele Grüße
Monom



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-07


Guten Abend Monom,

mein nächster Ansatz wäre wie folgt.  Hier wird gesagt, dass die Operatornorm für eine Matrix $B$ gegeben ist, als das Supremum über alle Wurzeln der nichtnegativen Eigenwerte von $B^TB$.

Ist also $\lambda$ ein nicht negativer Eigenwert von $((I-\tau A)^{-1})^T(I-\tau A)^{-1}=(I-\tau A^T)^{-1} (I - \tau A)^{-1}$, so ist zu zeigen, dass $\lambda \leq (1-\tau \nu)^{-2}$ ist, also $1\geq \lambda (1-\tau \nu)^2 = \lambda ( 1-2\tau\nu +\tau^2 \nu^2)$.

Ist nun $x\neq 0$ ein Eigenvektor zu $\lambda$, so ist $(I-\tau A^T)^{-1} (I-\tau A)^{-1} x =\lambda x$ und damit $x=\lambda ( I-\tau A)(I-\tau A^T)x= \lambda (I-\tau A-\tau A^T+\tau^2 A A^T)x$.

Damit ist $||x||^2 = <x,x> = \lambda <x,x-\tau A x -\tau A^Tx + \tau^2 A A^T x>$. Division durch $||x||^2$ und abschätzen durch $\nu$ (sollte auch für $A^T$ funktionieren) ergibt, da $<x,AA^Tx> = <A^T x,A^Tx>$:

$1\geq \lambda (1-2\nu \tau + \tau^2 \frac{||A^Tx||^2}{||x||^2})$. Was bis dahin gar nicht schlecht aussieht. Ob es letztlich zielführend ist, weißt ich aber nicht. Es fehlt noch die Abschätzung $\frac{||A^Tx||^2}{||x||^2} \geq \nu^2$.

Leider keine Zeit mehr (für Korrekturlesen und Weiterrechnen..). Vielleicht hilft das dir oder anderen weiter. Wenn ich Zeit finde, melde ich mich erneut.

Beste Grüße
Creasy



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