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Mathematik » Stochastik und Statistik » Minimum Zufallsvariable mit Erwartungswert
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Universität/Hochschule Minimum Zufallsvariable mit Erwartungswert
hansi321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-05


Hallo Community !

ich habe folgende Frage bzgl einer Statistik Aufgabe :

Aufgabenstellung:

\[\begin{array}{l}{\text { Sei } X \text { eine stetige Zufallsvariable mit Erwartungswert } \mu . \text { Zeigen Sie, dass }} \\ {\qquad \mu=\operatorname{argmin}_{b} E\left((X-b)^{2}\right)} \\ {\text { Hinweis: Fassen Sie obigen Ausdruck als Funktion von } b \text { auf und bestimmen Sie das }} \\ {\text { Minimum analytisch. }}\end{array}\]
Nun habe ich dazu zwei verschiedene Lösungen.

Lösung 1:

\[\
g(b)=E\left((X-b)^{2}\right) \\
=\int_{\mathbb{R}}(X-b)^{2} \quad f_{x}(X) d x \\
=\int_{\mathbb{R}}\left(X^{2} \underbrace{-2 b X}_ {} +b^{2}\right) f x(X) d x \\
=\underbrace{\int_{\mathbb{R}} X^{2} f_{x}(X) d x}_{} -2 b \quad \underbrace{\int_{\mathbb{R}}^{} X f_{x}(X) d x}_{=E(X)=\mu}+b^{2} \quad \int f_{x}(X) d x \\
=> \frac{2 g(b)}{2 b}=0 -2 \mu+2 b=0 \\
=> \mu=b\]

Lösung 2:

\[\begin{aligned} g(b) &=\mathbb{E}\left((X-b)^{2}\right) \\ &=\mathbb{E}\left(X^{2}\right)-2 b \mathbb{E}(X)+b^{2} \\ &=\mathbb{E}\left(X^{2}\right)-2 b \mu+b^{2} \\ \frac{\partial g(b)}{\partial b} &=-2 \mu+2 b \stackrel{ !}{=} 0 \\ & \Leftrightarrow b=\mu \end{aligned} \\
\text {und wegen} \\
\frac{\partial^{2} g(b)}{\partial^{2} b}=2>0 \\
\text { ist dies tatsächlich ein Minimum. }\]


Ich kann bei Lösung 2 teilweise die Schritte nachvollziehen,
(binomische Formel), ( \(\mu\) einsetzen), (Partielle Ableitung nach b), (nach b auflösen),
verstehe das aber nicht : \(\begin{array}{l}{\text { und wegen }} \\ {\qquad \frac{\partial^{2} g(b)}{\partial^{2} b}=2>0} \\ {\text { ist dies tatsächlich ein Minimum. }}\end{array}\)


Was ist die Vorgehensweise für Lösung 1 ?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-05


Hallo hansi321 und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Bei der 2. Lösung wird schlicht und ergreifend über die positive 2. Ableitung (die konstant positiv ist) argumentiert, dass das gefundene Extremum ein Minimum ist.

Bei der ersten Lösung steige ich ehrlich gesagt auch (noch) nicht durch. Kann es sein, dass dir bei den underbrace-Zusammenfassungen der eine oder andere Fehler unterlaufen ist?

Ich muss aber auch ehrlicherweise sagen, dass ich da nicht Experte genug bin. Sieht so aus, als ob du dich heute für eine umfassendere Antwort noch etwas gedulden musst.

Ich dachte mir, ich kläre mal deine Frage zur Lösung 2, damit mal eine Antwort kommt.  smile


Gruß, Diophant



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hansi321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-09-05 12:24 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo hansi321 und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Bei der 2. Lösung wird schlicht und ergreifend über die positive 2. Ableitung (die konstant positiv ist) argumentiert, dass das gefundene Extremum ein Minimum ist.

Danke, ok jetzt ist es klar !

Also bezieht sich das: \[\frac{\partial^{2} g(b)}{\partial^{2} b}=2>0\]
auf die zweite Partielle Ableitung nach b, welche dann diese Regel erfüllt:

\[ \begin{array}{l}{ \text { Eine Funktion } f \text { hat an der Stelle } x_{E} \text { Minimum wenn gilt: }} \\ {\qquad f^{\prime}\left(x_{B}\right)=0 \quad \text { und } \quad f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)>0}\end{array}\]
2019-09-05 12:24 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:

Bei der ersten Lösung steige ich ehrlich gesagt auch (noch) nicht durch. Kann es sein, dass dir bei den underbrace-Zusammenfassungen der eine oder andere Fehler unterlaufen ist?



Zu Lösung 1, es fehlte etwas was beim kopieren verloren gegangen ist, habe es nun korrigiert, siehe oben !

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-09-06 12:35 - hansi321 in Beitrag No. 2 schreibt:
2019-09-05 12:24 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo hansi321 und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Bei der 2. Lösung wird schlicht und ergreifend über die positive 2. Ableitung (die konstant positiv ist) argumentiert, dass das gefundene Extremum ein Minimum ist.

Danke, ok jetzt ist es klar !

Also bezieht sich das: \[\frac{\partial^{2} g(b)}{\partial^{2} b}=2>0\]
auf die zweite Partielle Ableitung nach b, welche dann diese Regel erfüllt:

\[ \begin{array}{l}{ \text { Eine Funktion } f \text { hat an der Stelle } x_{E} \text { Minimum wenn gilt: }} \\ {\qquad f^{\prime}\left(x_{B}\right)=0 \quad \text { und } \quad f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)>0}\end{array}\]

Genau.



2019-09-05 12:24 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:

Bei der ersten Lösung steige ich ehrlich gesagt auch (noch) nicht durch. Kann es sein, dass dir bei den underbrace-Zusammenfassungen der eine oder andere Fehler unterlaufen ist?


2019-09-06 12:35 - hansi321 in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu Lösung 1, es fehlte etwas was beim kopieren verloren gegangen ist, habe es nun korrigiert, siehe oben !

Ja, jetzt wird es klar. Das ist praktisch genauso einfach. Da wird einfach der Erwartungswert als Integral dargestellt, der Integrand ausmultipliziert und die Linearität des Integrals ausgenutzt.

So, und jetzt wird da gar nicht groß gerechnet bzw. integriert, da es ja um eine Funktion von \(b\) geht. Das erste Integral lässt sich somit als Konstante auffassen und fällt weg, das zweite ist gerade der Erwartungswert \(\mu\). Nur das dritte Integral wird hier ausgerechnet, das hast du 'unterschlagen': das ist aber ja gerade das Integral über die Dichte \(f_X\) und hat somit den Wert \(1\).

Am Ende ist dann der Differentialquotient noch falsch geschrieben (als einfacher Bruch). Jedenfalls steht da wieder die bereits gleich Null gesetzte erste Ableitung.

PS: im wesentlichen sind die beiden Rechnungen eigentlich gleich. Ob man jetzt \(E(X)\) schreibt oder \(\int_{\IR}{xf_x dx}\), das bleibt sich ja gleich. Somit handelt es sich bei den beiden Lösungsvarianten letztendlich lediglich um unterschiedliche Schreibweisen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hansi321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-09-06 12:46 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

Ja, jetzt wird es klar. Das ist praktisch genauso einfach. Da wird einfach der Erwartungswert als Integral dargestellt, der Integrand ausmultipliziert und die Linearität des Integrals ausgenutzt.

So, und jetzt wird da gar nicht groß gerechnet bzw. integriert, da es ja um eine Funktion von \(b\) geht. Das erste Integral lässt sich somit als Konstante auffassen und fällt weg, das zweite ist gerade der Erwartungswert \(\mu\). Nur das dritte Integral wird hier ausgerechnet, das hast du 'unterschlagen': das ist aber ja gerade das Integral über die Dichte \(f_X\) und hat somit den Wert \(1\).

Am Ende ist dann der Differentialquotient noch falsch geschrieben (als einfacher Bruch). Jedenfalls steht da wieder die bereits gleich Null gesetzte erste Ableitung.

PS: im wesentlichen sind die beiden Rechnungen eigentlich gleich. Ob man jetzt \(E(X)\) schreibt oder \(\int_{\IR}{xf_x dx}\), das bleibt sich ja gleich. Somit handelt es sich bei den beiden Lösungsvarianten letztendlich lediglich um unterschiedliche Schreibweisen.


Gruß, Diophant

Zu Lösung 1:

Ok bin mir noch nicht sicher aber in etwa folgende Schritte:

(Funktion in das Integral einsetzen)

\[\begin{array}{l}{\text { Ist } X \text { eine stetige Zufallsvariable, so heißt }} \\ {\mu_{X}=\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \mathrm{d} x} \\ {\text { der Erwartungswert von } X .}\end{array}
\\
\text { Dabei steht } f(x) \text { für die Dichtefunktion. }
\]
(Das \(\mathbb{R}\) als untere Integrationsgrenze bezieht sich auf das Intervall der reellen Zahlen, negativ unendlich bis positiv unendlich)

(binomische Formel)

\[=\int_{\mathbb{R}}\left(X^{2} {-2 b X}_{}+b^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x\]
(Integrationsregeln)

\[=\int_{\mathbb{R}} X^{2} f(x) \mathrm{d} x \quad - \quad \underbrace{\int_{\mathbb{R}} 2b X f(x) \mathrm{d} x}_{=E(X)=\mu} \quad + \quad \int_{\mathbb{R}} b^{2}f(x) \mathrm{d} x
\]
(2b und \(b^{2}\) wird vor das Integral gezogen)

\[
\\
=\int_{\mathbb{R}} X^{2} f(x) \mathrm{d} x \quad - \quad 2b \underbrace{\int_{\mathbb{R}} X f(x) \mathrm{d} x}_{=E(X)=\mu} \quad + \quad b^{2} \int_{\mathbb{R}} f(x) \mathrm{d} x
\\ \\\]
(Partielle Ableitung nach b)

\[\frac{\partial g(b)}{\partial b}= 0 -2 \mu+2 b \stackrel{ !}{=} 0
\\
=>\mu=b
\]

Fehlt für den Beweis des Minimums dann aber nicht der letze Schritt wie bei Lösung 2 mit der 2. Partiellen Ableitung ?
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

dann wollen wir mal.  smile

2019-09-07 12:04 - hansi321 in Beitrag No. 4 schreibt:
Zu Lösung 1:

Ok bin mir noch nicht sicher aber in etwa folgende Schritte:

(Funktion in das Integral einsetzen)

\[\begin{array}{l}{\text { Ist } X \text { eine stetige Zufallsvariable, so heißt }} \\ {\mu_{X}=\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \mathrm{d} x} \\ {\text { der Erwartungswert von } X .}\end{array}
\\
\text { Dabei steht } f(x) \text { für die Dichtefunktion. }
\]
(Das \(\mathbb{R}\) als untere Integrationsgrenze bezieht sich auf das Intervall der reellen Zahlen, negativ unendlich bis positiv unendlich)

Richtig.

2019-09-07 12:04 - hansi321 in Beitrag No. 4 schreibt:
(binomische Formel)

\[=\int_{\mathbb{R}}\left(X^{2} {-2 b X}_{}+b^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x\]

Auch richtig.

2019-09-07 12:04 - hansi321 in Beitrag No. 4 schreibt:

(Integrationsregeln)

\[=\int_{\mathbb{R}} X^{2} f(x) \mathrm{d} x \quad - \quad \underbrace{\int_{\mathbb{R}} 2b X f(x) \mathrm{d} x}_{=E(X)=\mu} \quad + \quad \int_{\mathbb{R}} b^{2}f(x) \mathrm{d} x
\]

Im Prinzip richtig, jedoch sollte unter dem mittleren Integral jetzt noch \(=2b\cdot E(X)=2b\mu\) stehen.

2019-09-07 12:04 - hansi321 in Beitrag No. 4 schreibt:
(2b wird vor das Integral gezogen)

\[
\\
=\int_{\mathbb{R}} X^{2} f(x) \mathrm{d} x \quad - \quad 2b \underbrace{\int_{\mathbb{R}} X f(x) \mathrm{d} x}_{=E(X)=\mu} \quad + \quad \int_{\mathbb{R}} b^{2} f(x) \mathrm{d} x
\\ \\\]
(Partielle Ableitung nach b)

\[\frac{\partial g(b)}{\partial b}= 0 -2 \mu+2 b \stackrel{ !}{=} 0
\\
=>\mu=b
\]

Fehlt für den Beweis des Minimums dann aber nicht der letze Schritt wie bei Lösung 2 mit der 2. Partiellen Ableitung ?

Ja, das hat mich auch gewundert. Wobei die erste Ableitung ja ein linearer Term ist, da braucht man nicht wirklich die 2. Ableitung, genauso gut könnte man hier mit einem Vorzeichenwechel von Minus nach Plus argumentieren.

Ich hatte dazu nichts weiter angemerkt, weil ich ja nicht weiß, wie diese beiden Lösungen zustande gekommen sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hansi321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-09-07 12:18 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:

Ja, das hat mich auch gewundert. Wobei die erste Ableitung ja ein linearer Term ist, da braucht man nicht wirklich die 2. Ableitung, genauso gut könnte man hier mit einem Vorzeichenwechel von Minus nach Plus argumentieren.

Ich hatte dazu nichts weiter angemerkt, weil ich ja nicht weiß, wie diese beiden Lösungen zustande gekommen sind.


Gruß, Diophant

Zu Lösung 1:

Dann kann ich im letzten Schritt als alternative das Vorzeichenwechsel-Kriterium überprüfen:

\[\begin{aligned} \frac{\partial g(b)}{\partial b} &=0-2 \mu+2 b \stackrel{ !}{=} 0 \\ &=>\mu=b \end{aligned}
\\
\text {Nullstelle bei $X_{0}$= b }
\]
Zwei Stellen in der Nähe von \(X_{0}\):
\[x_{a}=x_{0}-1 \text { und } x_{b}=x_{0}+1\]
\[f^{\prime}(x_{a}) = -2b-1+2b = -1
\\
f^{\prime}(x_{b}) = -2b+1+2b = +1
\\
\\
\begin{array}{l}{\cdot \text { Hat die Funktion } f^{\prime} \text { an der Stelle } x=a \text { eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel}} \\ {\text {von - nach +}\text { so hat } G \text { an der }} {\text { Stelle } x=a \text { einen Tiefpunkt (Minimum). }}\end{array}\]

Falls das nun richtig ist, sind beide Lösungen klar.
Vielen dank !

\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

richtig ist es schon. Ich würde halt an der Uni Vorzeichenwechsel nicht mehr so durch Einsetzen von konkreten Zahlen zeigen, sondern wenn überhaupt, dann mit irgendeiner Größe \(h>0\) o.ä, die man einmal subtrahiert und einmal addiert.

Mit der gleichen Begründung, mit der man es hier doch mit der Addition bzw. Subtraktion von \(1\) zeigen kann, nämlich der Linearität des Terms, kann man eigentlich dann auch gleich argumentieren, dass es offensichtlich ist.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-07


Hallo zusammen,

auch von mir nochmal herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Man muss hier ein bisschen aufpassen, denn streng genommen sagt uns das Vorzeichenwechselkriterium als auch das Kriterium über die 2.te Ableitung lediglich, dass $g(b)$ an der Stelle $b=\mu$ ein lokales Minimum besitzt. In der Aufgabenstellung ist aber verlangt zu zeigen, dass bei $b=\mu$ das globale(!) Minimum vorliegt.
Das einfachste Argument ist denke ich die Linearität des Erwartungswertes zu nutzen und die Tatsache, dass der Erwartungswert einer Konstanten die Konstante selbst ist. Damit rechnet man dann nach:

$g(b)=b^2-2b\mu+E(X^2)$.

Es handelt sich bei $g(b)$, um eine nach oben geöffnete Parabel. Diese haben bekanntlich genau eine kritische Stelle, die gerade mit dem globalen Minimum der Parabel zusammenfällt. Daher ist es ausreichend einfach $\partial_bg(b)=0$ nach $b$ aufzulösen.
Etwas elementarer kann man auch einfach eine quadratische Ergänzung durchführen und $g(b)$ auf Scheitelspunktsform bringen:

$g(b)=(b-\mu)^2+E(X^2)-\mu^2$

Man beachte, dass $E(X^2)-\mu^2=Var(X)$ gerade die Varianz von $X$ ist. Sei $\sigma:=\sqrt{Var(X)}$, so hat man:

$g(b)=(b-\mu)^2+\sigma^2$.

Diese Funktion hat offenbar ein global Minimum an der Stelle $b=\mu$ mit Funktionswert $g(\mu)=\sigma^2=Var(X)$ (ganz ohne Differentialrechnung).

Viele Grüße

doglover



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-07

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@doglover:
reicht es nicht einfach aus zu sagen, dass (offensichtlich) \(b\in\IR\), daher keine Randmaxima und aus Symmetriegründen ist das einzige innere Extremum global?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-08


Hallo Diophant,

ich verstehe nicht ganz, was du mit Symmetriegründen meinst? Man kann etwas allgemeiner über den Satz von Rolle argumentieren, dass wenn das Minimum nicht global wäre, es mindestens eine weitere Stelle gäbe an der die Ableitung verschwinden müsste. Meintest du das so?

Ob das Argument einfacher ist, liegt da wohl im Auge des Betrachters. Ich mag mein Argument, weil es nur elementares Wissen über Parabeln benutzt. Dein Argument, wenn ich es richtig verstanden habe, ist dagegen wesentlich vielseitiger, gerade weil es gar nicht benutzt, dass die Funktion eine Parabel ist. Ich denke es ist gut beide Wege gesehen zu haben, daher danke für die Ergänzung.

In jedem Fall sollte man aber irgendeinen kurzen Kommentar zur 'Globalität' des Minimums schreiben, sonst gibt es schlimmstenfalls Punktabzug in der Klausur.

Viele Grüße

doglover



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-08


Hallo doglover,

ich muss dazusagen, dass ich nur Hobby-Mathematiker bin und somit insbesondere von der ganzen Korrekturpraxis - zumindest an Hochschulen - wenig bis keine Ahnung habe. Von daher ist es gut, dass du deine Anmerkungen nachgereicht hast. Ich habe oben halt versucht, die beiden gegeben Lösungen nachzuvollziehen und dort wo nötig zu erläutern.

Mit meinen Symmetriegründen habe ich im Prinzip dein Parabelargument gemeint, aber eben auch wieder 'flapsig' formuliert. ;-)

Also: insbesondere auch an dich vielen Dank für deine Ergänzungen!


Gruß, Diophant



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