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Universität/Hochschule J Maßtheorie, Fragen
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-05


Abend alle zusammen.

(i) ad Bild 1: Also so, wie ich es verstehe, gilt: $X_k: \Omega \rightarrow \mathsf X$. Also $\mathscr F$-measurable bedeutet ja einfach, dass falls $A \in \mathcal F_k \Rightarrow X_k^{-1}(A) \in \mathscr F$, oder?  Ich bin insofern verwirrt, als es $\mathscr F_k$-measurable heißt und nicht $\mathscr X$-measurable ... Gibt man nicht die $\sigma$-Algebra aus dem Wertebereich der Abbildung an?

(ii) Ich habe mich bisher oft gefragt, wie (1.1.2) gezeigt werden kann. Ich hatte mal in einem Skript ,,maßtheoretische Induktion" gelesen, aber du wurde der Beweis leider nicht ausgeführt. Also weißt du zufällig, wo ich ihn nachlesen kann?U Oder soll ich erst einmal versuchen, dies für ,,einfache" Funktionen $f$ zu zeigen?

(Ich sende schon einmal auch die anderen Bilder, weil ich auf sie noch zurückkommen möchte.)






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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-06


2019-09-05 22:43 - Neymar im Themenstart schreibt:
Also $\mathscr F$-measurable bedeutet ja einfach, dass falls $A \in \mathcal F_k \Rightarrow X_k^{-1}(A) \in \mathscr F$, oder?

Nein, das ergibt keinen Sinn: Ein $X_k$-Urbild kannst du nur von Mengen $\subseteq\mathsf X$ bilden.

Dass $X_k$ $\mathscr F_k$-messbar ist, bedeutet, dass $X_k^{-1}(A)\in\mathscr F_k$ für alle $A\in\mathscr X$.

Und wegen $\mathscr F_k\subseteq\mathscr F$ ist ein solches $X_k$ erst recht $\mathscr F$-messbar.

2019-09-05 22:43 - Neymar im Themenstart schreibt:
Ich hatte mal in einem Skript ,,maßtheoretische Induktion" gelesen, aber du wurde der Beweis leider nicht ausgeführt.

Das Prinzip der maßtheoretische Induktion kannst du in einem Wikipedia-Artikel zu diesen Thema nachlesen. Hier ist ein recht ausführlicher Beweis zu finden, der auf diesem Prinzip beruht.

--zippy



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Conny42
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-06


Huhu Neymar,


(i) ad Bild 1: Also so, wie ich es verstehe, gilt: $X_k: \Omega \rightarrow \mathsf X$. Also $\mathscr F$-measurable bedeutet ja einfach, dass falls $A \in \mathcal F_k \Rightarrow X_k^{-1}(A) \in \mathscr F$, oder?  Ich bin insofern verwirrt, als es $\mathscr F_k$-measurable heißt und nicht $\mathscr X$-measurable ... Gibt man nicht die $\sigma$-Algebra aus dem Wertebereich der Abbildung an?

die Abbilung $X_k:\Omega \to X$ ist $\mathcal{F}$-messbar, wenn für alle $A \in \mathscr{X}$ gilt, dass $X_k^{-1}(A) \in\mathcal{F}$. Wenn es klar ist, bezüglich welcher Sigma-Algebra auf dem Bildraum $X$ die Messbarkeit gemeint ist (hier bezüglich $\mathscr{X}$, dann wird das oft weggelassen, ansonsten schreibt man oft auch $\mathcal{F}-\mathcal{X}$-messbar.
Und ein stochastischer Prozess $X=(X_k)_{k\in T}$ ist adaptiert an eine Filtration

$\mathbb{F} := \{\mathcal{F}_k, k\in T \}$

genau dann, wenn für jedes $k\in T$ gilt, dass $X_k$ $\mathcal{F}_k$-messbar ist, also wenn für alle $k\in\mathbb{N}$ und alle $A \in \mathscr{X}$ gilt, dass

$X_k^{-1}(A) \in \mathcal{F}_k.$


(ii) Ich habe mich bisher oft gefragt, wie (1.1.2) gezeigt werden kann. Ich hatte mal in einem Skript ,,maßtheoretische Induktion" gelesen, aber du wurde der Beweis leider nicht ausgeführt. Also weißt du zufällig, wo ich ihn nachlesen kann?U Oder soll ich erst einmal versuchen, dies für ,,einfache" Funktionen $f$ zu zeigen?

Die Richtung (1.1.2)->(1.1.1) folgt, in dem du $f=1_A$ mit $A \in \mathscr{X}$ wählst.
Für die Richtung (1.1.1) -> (1.1.2) folgt die Aussage für Indikatorfunktionen direkt aus (1.1.1), mittels Linearität gilt sie auch für einfache Funktionen und da eine nichtnegative messbare Funktion monoton durch einfache Funktionen approximiert werden kann, folgt die Behauptung in diesem Fall aus dem Satz über die monotone Konvergenz. Eine beliebige messbare Funktion $f$ kann man dann als Summe aus Positiv- und Negativteil schreiben und darauf jeweils das bereits Gezeigte anwenden.

Liebe Grüße und einen schönen Abend!
Conny

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-06


Erst einmal danke euch beiden.

Die Frage mit der Messbarkeit habt ihr mit gut erklärt, es ist mir jetzt klargeworden, denke ich.

Ich habe mir mal den Wikipedia-Artikel zur maßtheoretischen Induktion noch einmal durchgelesen. Ich habe zwei Fragen dazu.

(i) Erst einmal zur Rückrichtung ,,$\Leftarrow$" beim Übergang von (1.1.1) zu (1.1.2). Also $P(X_{k+1} \in A \ | \ \mathscr F_k)$ steht doch für $P(X^{-1}_{k+1}(A) \ | \ \mathscr F_k)$, oder? Okay, wieso soll dann aber $f = 1_A$ gewählt werden? Ich erhalte dann:
\[P(X^{-1}_{k+1}(A) \ | \ \mathscr F_k) = \mathbb E\left[ 1_{X^{-1}_{k+1}(A)} \ | \ \mathscr F_k \right],  \quad A \in \mathcal F \] da laut R. Durrett (,,Probability. Theory and Examples") $P(A | \mathcal F) := E(1_A | \mathcal F)$. Wende ich diese Definition auch auf die rechte Seite von (1.1.1) an, so komme ich noch nicht auf (1.1.2) ...

(ii) Ich habe noch Probleme zur Notation $f(X_{k+1})$. Doch erst einmal zwei Definitionen aus dem Anhang, damit wir auf dem gleichen Stand sind:

Let $(\mathsf X, \mathscr X)$ be a measurable space.
$\mathbb F(X)$: vector space of measurable functions from $(\mathsf X,\mathscr X)$ to $(-\infty, \infty)$.

$\mathbb F_{+}(X)$: the cone of measurable functions from $(\mathsf X, \mathscr X)$ to $[0, \infty]$.

Wie kann es sein, dass $f$ von einer Funktion (hier einer Zufallsvariablen abhängt)? $f: \mathsf X \rightarrow (-\infty, \infty)$ ...


Gruß,
Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-06


2019-09-06 20:14 - Neymar in Beitrag No. 3 schreibt:
$P(X^{-1}_{k+1}(A) \ | \ \mathscr F_k) = \mathbb E\left[ 1_{X^{-1}_{k+1}(A)} \ | \ \mathscr F_k \right],  \quad \color{red}{A \in \mathcal F}$

Ich hatte dir doch oben schon erklärt, dass du von einem $A\in\mathscr F$ kein $X_k$-Urbild bilden kannst:

2019-09-06 00:17 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Nein, das ergibt keinen Sinn: Ein $X_k$-Urbild kannst du nur von Mengen $\subseteq\mathsf X$ bilden.

Was du betrachten sollst, ist eine Funktion $f=1_A$ mit $A\in\mathscr X$. Damit ist $E\bigl[f(X_{k+1})|\mathscr F_k\bigr] =
P\bigl(X_{k+1}\in A|\mathscr F_k\bigr)$.

Oder mit ein paar Zwischenschritten$$
E\bigl[f(X_{k+1})|\mathscr F_k\bigr] =
E\bigl[1_A(X_{k+1})|\mathscr F_k\bigr] =
E\bigl[1_{X_{k+1}^{-1}(A)}|\mathscr F_k\bigr] =
P\bigl(X_{k+1}^{-1}(A)|\mathscr F_k\bigr) =
P\bigl(X_{k+1}\in A|\mathscr F_k\bigr)\;,$$wobei sich die zweite Gleichheit aus der allgemeinen Beziehung $1_A\bigl(\phi(\omega)\bigr)=1_{\phi^{-1}(A)}(\omega)$ ergibt.

2019-09-06 20:14 - Neymar in Beitrag No. 3 schreibt:
Wie kann es sein, dass $f$ von einer Funktion (hier einer Zufallsvariablen abhängt)? $f: \mathsf X \rightarrow (-\infty, \infty)$ ...

$f$ ist eine Funktion $\mathsf X\to\hbox{(egal)}$. Wenn $g$ eine Funktion $\hbox{(auch egal)}\to\mathsf X$ ist, kannst du die Verkettung $f\circ g$ bilden. Und genau so eine Verkettung ist $f(X_{k+1})=f\circ X_{k+1}$ wegen $X_{k+1}\colon\Omega\to\mathsf X$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-07


(i) Natürlich hast du Recht und es ist falsch von mir: $A \in \mathscr X$.

(ii)
Oder mit ein paar Zwischenschritten$$
E\bigl[f(X_{k+1})|\mathscr F_k\bigr] =
E\bigl[1_A(X_{k+1})|\mathscr F_k\bigr] =
E\bigl[1_{X_{k+1}^{-1}(A)}|\mathscr F_k\bigr] =
P\bigl(X_{k+1}^{-1}(A)|\mathscr F_k\bigr) =
P\bigl(X_{k+1}\in A|\mathscr F_k\bigr)\;,$$wobei sich die zweite Gleichheit aus der allgemeinen Beziehung $1_A\bigl(\phi(\omega)\bigr)=1_{\phi^{-1}(A)}(\omega)$ ergibt.

$>$ Danke für die ganzen Zwischenschritte und die allgemeine Beziehung, so ist die Rückrichtung "$\Leftarrow$" verständlich.

(iii) Ich habe mir gerade Connys Beitrag zur Hinrichtung angeschaut und ich wollte verstehen, woher wir wissen, dass die Beziehung für Indikatorfunktionen gilt. Meine Vermutung: Charakteristische Funktionen sind immer ,,adaptiert" an eine Folge von $\sigma$-Algebren, unabhängig davon, wie diese Algebren aussehen. Stimmt das? (Charakteristische Funktionen sind ja auf jeden messbar.)

-- Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-08


2019-09-07 22:08 - Neymar in Beitrag No. 5 schreibt:
(iii) Ich habe mir gerade Connys Beitrag zur Hinrichtung angeschaut und ich wollte verstehen, woher wir wissen, dass die Beziehung für Indikatorfunktionen gilt.

Die Gleichung (1.1.2) gilt für eine Funktion $f=1_A$  mit $A\in\mathscr X$, weil die Gleichung in diesem Fall wegen $E\bigl[1_A(X_{k+1})|\ldots\bigr]=P(X_{k+1}\in A|\ldots)$ eine "1:1-Übersetzung" der Gleichung (1.1.1) ist.

2019-09-07 22:08 - Neymar in Beitrag No. 5 schreibt:
Meine Vermutung: Charakteristische Funktionen sind immer ,,adaptiert" an eine Folge von $\sigma$-Algebren, unabhängig davon, wie diese Algebren aussehen. Stimmt das?

Mit ist nicht klar, was du damit sagen willst.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-09


(i) Okay, es ist mir klar geworden, wieso (1.1.2) für Indikatorfunktionen gilt.

2019-09-07 22:08 - Neymar in Beitrag No. 5 schreibt:
Meine Vermutung: Charakteristische Funktionen sind immer ,,adaptiert" an eine Folge von $\sigma$-Algebren, unabhängig davon, wie diese Algebren aussehen. Stimmt das?

Mit ist nicht klar, was du damit sagen willst.
$>$ Ähm, vergessen wir das mal. Das ist nicht zielführend, glaube ich.


(ii) Nun war ich gerade dabei, den nächsten Schritt nachzuvollziehen. Es geht also darum, warum (1.1.2) auch für ,,einfache" Funktionen gilt. Mir ist dabei nur noch eine Sache unklar, glaube ich.
Das ist eine Definition, die ich aus Durretts Buch getext habe. So, meine Frage lautet: Man weiß, dass $\mathbb E(aX + Y | \mathcal A) = a\mathbb E(X|\mathcal A) + \mathbb E(Y|\mathcal A)$ (dies gilt doch, falls $X, Y$ beide $\mathcal A_0$-messbar sind, oder?). Anyway, ist auch die $\mathbf{Summe}$ zweier $\mathcal A_0$-messbarer Funktionen wieder $\mathcal A_0$-messbar? Ich habe mal im Internet nachgeschaut, aber nichts Zufriedenstellendes gefunden. Denn: Was wäre $(X+Y)^{-1}(A), A \in \mathscr X$? (Ich glaube, Durrett betrachet Zufallsvariablen, die nach $\mathbb R$ gehen.)


(iii) Und man kann einfach nichtnegative Funktion durch einfache Funktionen approximieren? Vielleicht versuche ich, das noch bei Durrett nachzuschauen.

// EDIT: (ii) hat sich jetzt geklärt. Ich habe hier gesehen (unter ,,Approximation"), dass sich jede positive messbare Funktion durch eine monoton wachsende Funktionenfolge von einfachen Funktionen darstellen lässt. Und $f$ ist ja aus den Räumen $\mathbb F_{+}(\mathsf X) \cup \mathbb F_{b}(\mathsf X)$, wobei beide Räume aus messbaren Funktionen bestehen.

-- Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10


Anyway, ansonsten nehme ich die Linearität als gegeben hin.
Kann ich weiter fragen? :-)



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-10


2019-09-09 11:14 - Neymar in Beitrag No. 7 schreibt:
ist auch die $\mathbf{Summe}$ zweier $\mathcal A_0$-messbarer Funktionen wieder $\mathcal A_0$-messbar?

Du solltest die folgenden beiden Aussagen kennen:
1. Die Verkettung messbarer Funktionen ist messbar.
2. Stetige Funktionen sind Borel-messbar.

Dann kannst du argumentieren, dass für zwei $\mathcal A_0$-messbare Funktionen $X,Y\colon\Omega\to\mathbb R$ die Summe $X+Y$ als Verkettung von$$\begin{align}
&\Omega\to\Omega^2,\,\omega\mapsto(\omega,\omega)\\[1.5ex]
&(X,Y)\colon\Omega^2\to\mathbb R^2\\[1.5ex]
&+\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\end{align}$$ebenfalls messbar ist, denn für (1) und (2) folgt die Messbarkeit aus der Definition der Produkt-$\sigma$-Algebra und der Messbarkeit von $X$ und $Y$ und für (3) aus der Stetigkeit der Addition.

2019-09-10 16:22 - Neymar in Beitrag No. 8 schreibt:
Kann ich weiter fragen? :-)

Ja, aber ich werde in den nächsten Tagen aus Zeitmangel nicht antworten können.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10


Ich habe mich eben gefragt, ob auf Seite 5 beim Beweis von (i) $\Rightarrow$ (ii) kein Fehler gemacht wurde. Man hat ja
\[ \mathbb E[g_0(X_k)\dots g_n(X_{k+n})g_{n+1}(X_{k+n+1}) | \mathscr F_k] = \mathbb E\left[ \mathbb E[g_0(X_k)\dots g_n(X_{k+n})g_{n+1}(X_{k+n}) | \mathscr F_{k+n}] | \mathscr F_k \right] = \mathbb E\left[ \mathbb g_0(X_k)\dots g_n(X_{k+n}) \mathbb E[g_{n+1}(X_{k+n}) | \mathscr F_{k+n}] | \mathscr F_k \right] \]
Also was die 1. Gleichheit angeht, so habe ich eine Frage hierzu. Doch erst einmal ein im Anhang aufgeführtes Theorem, welches ich hier nur teilweise aufführe:

"Let $\mathscr G$ be a sub-$\sigma$-field of $\mathscr F$, and $X$ a random variable such that $\mathbb E[X^{-}] < \infty$.
[...]
(ii) If $\mathscr H$ is a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$, then $\mathbb E[\mathbb E[X | \mathscr H]|\mathscr G] = \mathbb E[X|\mathscr G]$.
[...]
(iv) If $X$ is $\mathscr G$-measurable and either $Y \geq 0$ or $\mathbb E[|XY|] <\infty$ and $\mathbb E[|Y|] < \infty$, then $\mathbb E[XY | \mathscr G] = X\mathbb E[Y|\mathscr G]$."

Aber im Theorem ist $\mathscr X \subset \mathscr G$, ABER $\mathscr F_{k+n}$ ist keine Teilmenge von $\mathscr F_k$ ... Deshalb bin ich ein bisschen verwundert.


zur 2. Gleichheit: Warum ist z.B. $g_n(X_{k+n}) = g_n \circ X_{k+n}$ $\mathscr F_{k+n}$-messbar? Man weiß nur, dass $g_n: \mathsf X \rightarrow \mathbb R$. Also muss eine (beliebige) Menge $A \in \mathscr B(\mathbb R)$ gewählt werden, um die Messbarkeit zu zeigen? So verstehe ich es. Aber wie kann der Beweis zu Ende gebracht werden? Wir wissen, dass $g_n$ per Def. messbar ist ($\mathbb F_b(X)$: subset of $\mathbb F(X)$ of bounded functions, $\mathbb F(X)$: vector space of measurable functions from $(\mathsf X, \mathscr X)$ to $(-\infty, \infty)$). Dass $g_n$ messbar ist, bedeutet nichts anderes, als dass $g^{-1}_n(A) \in \mathscr X$. Da $\{X_k, k \in T\}$ an die Filtration adaptiert ist, gilt also auch, dass $X^{-1}_{k+n}\left(g^{-1}_n(A)\right) \in \mathscr F_{k+n}$. QED?

Danke im Voraus und entschuldige bitte die vielen Nachfragen!

-- Neymar

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-10


2019-09-10 20:16 - Neymar in Beitrag No. 10 schreibt:
(ii) If $\mathscr H$ is a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$, then $\mathbb E[\mathbb E[X | \mathscr H]|\mathscr G] = \mathbb E[X|\mathscr G]$.

Dieser Satz ergibt ja weder mathematisch noch grammatikalisch einen Sinn, was auf einen Tippfehler hindeutet:

(ii) If $\mathscr H$ has a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$, then $\mathbb E[\mathbb E[X | \mathscr H]|\mathscr G] = \mathbb E[X|\mathscr G]$.

2019-09-10 20:16 - Neymar in Beitrag No. 10 schreibt:
Warum ist z.B. $g_n(X_{k+n}) = g_n \circ X_{k+n}$ $\mathscr F_{k+n}$-messbar?

Siehe oben:

2019-09-10 19:44 - zippy in Beitrag No. 9 schreibt:
1. Die Verkettung messbarer Funktionen ist messbar.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11


Ich weiß nicht, ob du mir noch antworten kannst, weil du ja geschrieben hattest, dass du in den folgenden Tagen nicht kannst.

2019-09-10 22:37 - zippy in Beitrag No. 11 schreibt:
2019-09-10 20:16 - Neymar in Beitrag No. 10 schreibt:
(ii) If $\mathscr H$ is a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$, then $\mathbb E[\mathbb E[X | \mathscr H]|\mathscr G] = \mathbb E[X|\mathscr G]$.

Dieser Satz ergibt ja weder mathematisch noch grammatikalisch einen Sinn, was auf einen Tippfehler hindeutet:

(ii) If $\mathscr H$ has a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$, then $\mathbb E[\mathbb E[X | \mathscr H]|\mathscr G] = \mathbb E[X|\mathscr G]$.

$>$ Ich habe mich auch schon gefragt, was der Ausdruck bedeuten soll. Was bedeutet dann "$\mathscr H$ has a sub-$\sigma$-field $\mathscr G$", also ist $\mathscr G \subset \mathscr H$ ? Das würde dann aber Sinn ergeben, da, angewandt auf den Beweis, in der Tat $\mathscr F_k \subset \mathscr F_{k+n}$ gilt.


Was meine letzte Frage anging, so findet sich das, was du geschrieben hattest, hier unter Lemma 3.31 wieder. Also was wir wissen, ist:

$g_n: (\mathsf X, \mathscr X) \rightarrow (\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))$
$X_{k+n}: (\Omega, \mathscr F) \rightarrow (\mathsf X, \mathscr X)$

Was wir also aus dem Lemma im Link erhalten, ist, dass $g_n \circ X_{k+n} \ \ \mathscr X$-messbar ist, oder nicht? Aber $\mathscr X$ und $\mathscr F_{k+n}$ stehen ja in keinem Zusammenhang, oder doch?


Gruß,
Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-11


2019-09-11 09:57 - Neymar in Beitrag No. 12 schreibt:
$g_n: (\mathsf X, \mathscr X) \rightarrow (\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))$
$X_{k+n}: (\Omega, \mathscr F) \rightarrow (\mathsf X, \mathscr X)$

Was wir also aus dem Lemma im Link erhalten, ist, dass $g_n \circ X_{k+n} \ \ \mathscr X$-messbar ist, oder nicht?

Nein, du musst doch nur das Lemma anwenden, ohne dabei die Reihenfolge der drei Messräume durcheinanderzuwerfen: $g_n\circ X_{k+n}$ ist eine Funktion$$
\bigl(\Omega,\mathcal F_{k+n}\bigr) \longrightarrow
\bigl(\mathsf X,\mathscr X) \longrightarrow
\bigl(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R)\bigr)\;.
$$Also ist diese Funktion $\mathcal F_{k+n}$-messbar. (Und damit natürlich insbesondere auch $\mathcal F$-messbar.)



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12


(i) Ich glaube, der Trick ist hier, nicht $X_{k+n}: (\Omega, \mathscr F) \rightarrow (\mathsf X, \mathscr X)$ zu schreiben, sondern $X_{k+n}: (\Omega, \mathscr F_{k+n}) \rightarrow (\mathsf X, \mathscr X)$. Das ist gut.

(ii) Wenn wir schon beim Beweis des Theorems sind, würde ich noch gerne etwas von (ii) $\Rightarrow$ (iii) fragen. Da heißt es ja $\mathbb E\left[YZ \mid \mathscr F_k\right] = Z\mathbb E\left[ Y \mid \mathscr F_k \right]$.

Ich habe eine Vermutung, warum die Gleichheit gilt: Eventuell gilt $\mathbb E\left[ YZ \mid \mathscr F_k \right] = \mathbb E\left[ ZY \mid \mathscr F_k \right]$, also ich verstehe $YZ$ als Multiplikation von Zufallsvariablen.
Weiter: Da $Z$ $\ \mathscr F_k-$messbar ist, ergibt das Theorem aus Beitrag Nr.10 die Gleichheit.

(iii) Außerdem steht ja noch nach "Thus, [...]", dass $\mathbb E\left[ YZ | \sigma(X_k)\right] = \mathbb E\left[ \mathbb E\left[ YZ\mid \mathscr F_k \right]\mid \sigma(X_k) \right]$. Aber warum ist $\sigma(X_k)\subset \mathscr F_k$ ?


-- Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-09-15


2019-09-12 09:31 - Neymar in Beitrag No. 14 schreibt:
Eventuell gilt $\mathbb E\left[ YZ \mid \mathscr F_k \right] = \mathbb E\left[ ZY \mid \mathscr F_k \right]$, also ich verstehe $YZ$ als Multiplikation von Zufallsvariablen.

Ja, $YZ$ bezeichet genauso das punktweise Produkt wie $Y+Z$ die punktweise Summe.

2019-09-12 09:31 - Neymar in Beitrag No. 14 schreibt:
Aber warum ist $\sigma(X_k)\subset \mathscr F_k$?

Weil $X_k$ nach Definition 1.1.1 $\mathscr F_k$-messbar ist. [Und weil natürlich generell $\sigma(X)\subseteq\mathscr A\iff X$ ist $\mathscr A$-messbar.]



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Neymar
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Hallo zippy.

ad (i). Okay, gut zu wissen!

ad (ii).
2019-09-12 09:31 - Neymar in Beitrag No. 14 schreibt:
Aber warum ist $\sigma(X_k)\subset \mathscr F_k$?

Weil $X_k$ nach Definition 1.1.1 $\mathscr F_k$-messbar ist. [Und weil natürlich generell $\sigma(X)\subseteq\mathscr A\iff X$ ist $\mathscr A$-messbar.]

$>$ Okay, ich wusste nicht, dass $\sigma(X_k) \subset \mathscr F_k \Longleftrightarrow X_k \ \ \mathscr F_k-$messbar. Ich bin vor allem am Beweis der Rückrichtung, i.e.
,,$\Leftarrow$", interessiert. Kannstu du mir sagen, wo ich ihn finden kann.
Ich selber weiß noch nicht, wie ich rangehen soll, da ich nichts über $\mathscr F_k$ weiß.


Gruß,
Neymar



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zippy
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2019-09-15 10:10 - Neymar in Beitrag No. 16 schreibt:
Ich bin vor allem am Beweis der Rückrichtung, i.e.
,,$\Leftarrow$", interessiert. Kannstu du mir sagen, wo ich ihn finden kann.

Es wird schwer sein, für etwas derart Offensichtliches einen aufgeschriebenen Beweis zu finden.

* Zur Erinnerung: Eine Zufallsvariable $X\colon\Omega\to\mathbb R$ ist $\mathscr A$-messbar, falls die Urbilder $X^{-1}(B)$ für alle $B\in\mathscr B(\mathbb R)$ in $\mathscr A$ liegen.

* Mit anderen Worten: Falls für $\mathscr M:=\bigl\{X^{-1}(B):B\in\mathscr B(\mathbb R)\bigr\}$ gilt $\mathscr M\subseteq\mathscr A$.

* Ebenfalls zur Erinnerung: $\sigma(X)$ ist definiert als $\sigma(X):=\sigma(\mathscr M)$.

* Also ist zu beweisen: $\mathscr M\subseteq\mathscr A\iff\sigma(\mathscr M)\subseteq\mathscr A$.

* Und das ergibt sich sofort aus aus der Definition von $\sigma(\mathscr M)$ als der kleinsten $\sigma$-Algebra, die $\mathscr M$ enthält, und der Tatsache, dass $\mathscr A$ eine $\sigma$-Algebra ist.

Eine Zufallsvariable mit Werten in $\bigl(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R)\bigr)$ habe ich hier nur der Einfachheit halber betrachtet, die Überlegung für eine Zufallsvariable mit Werten in irgendeinem anderen Messraum sieht genauso aus.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ja, es ist wirklich nicht so schwer. Ich habe mir erst einmal deine Antwort durchgelesen und es dann selber mal versucht, die Rückrichtung zu zeigen. Mein großer Fehler war folgender:

     Ich selber weiß noch nicht, wie ich rangehen soll, da ich nichts über
     $\mathscr F_k$ weiß.

$>$ Das stimmt natürlich nicht. Wir wissen, dass $\mathscr F_k$ alle Mengen der Form $X_{k+1}^{-1}(A)$ für $A\in\mathscr X$ enthält.
Da $\sigma(X_k)$ im Grund per Konstruktion diese Mengen enthält, sind wir fertig, da $\sigma(X_k)$ die kleinste $\sigma$-Algebra ist.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-09-15


2019-09-15 12:30 - Neymar in Beitrag No. 18 schreibt:
Wir wissen, dass $\mathscr F_k$ alle Mengen der Form $X_{k\color{red}{+1}}^{-1}(A)$ für $A\in\mathscr X$ enthält.

Das $\color{red}{+1}$ ist hoffentlich nur ein Tippfehler.



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Neymar
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Klar, danke dir.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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