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Matroids Matheplanet Forum Index » Aktuelles und Interessantes » x³ + y³ + z³ = 42 gelöst!
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Kein bestimmter Bereich x³ + y³ + z³ = 42 gelöst!
Slash
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Aus: Cuxhaven-Sahlenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-06


Das Summe-dreier-Kuben-Problem für 42 wurde geknackt.

<math>42=(-80538738812075974)^3+80435758145817515^3+12602123297335631^3</math>

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Gruß, Slash



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-07


Wahnsinn!

Immerhin musste für diese Erkenntnis keine Erde erschaffen werden biggrin



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-07


Irgendwie witzig, dass ausgerechnet die 42 die letzte der 100 Zahlen war.

Allgemeine Frage: In der Liste treten Zahlen die keine derartige Darstellung haben immer in  Pärchen auf.

Etwa 4,5 ; 13, 14 etc. außerdem ist das Muster ja jeweils +9.

Woran liegt das?
Ich bin mir sicher, dass es da ein ganz einfaches Argument gibt...



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-07


Gibt es auch: Betrachte mal kubische Reste modulo 9.

Cyrix



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-07


Danke. :)



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Slash
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Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 7582
Aus: Cuxhaven-Sahlenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10


Kurzer Artikel dazu auf Spektrum.de: hier



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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
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Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-24 20:04


Ich werfe auch nochmal was aktuelles nach.

Es gibt nun eine 3. Lösung für x³+y³+z³=3

www.youtube.com/watch?v=GXhzZAem7k0


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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-25 18:15


Gibt es überhaupt eine intuitive Erklärung, warum die Lösungen so groß sind?
Gibt es eine gute Erklärung, warum diese Zahlen genau die Gleichung erfüllen, statt Sie einfach mit einem Computer nachzurechnen? (etwa geometrische Gründe; algebraische Manipulationen, die noch recht einfach sind, oder sonst was)

Ich kenne einige Olympiade-Aufgaben, wo man den chinesischen Restsatz benutzt, um Zahlen zu konstruieren mit einer gewünschten Eigenschaft, diese Zahlen werden durch die ganzen Relationen ungeheuer groß.
Oder irgendwie was mit Ordnung einer Zahlen modulo n muss diese und jene Eigenschaft haben, sodass die Zahl am Ende sehr groß wird.
Das sind elementare Gründe, fortgeschrittenere Begründungen sind natürlich auch sehr erwünscht.

Red_



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pzktupel
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1004
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-25 18:29


@Red_

Darüber habe ich mir als Hobbynumeriker auch Gedanken gemacht.
Ich konnte nachvollziehen, das gewisse Zahlen MOD 9=4 und 5 nicht darstellbar sind. Ich stellte mir also die Frage, wenn alle anderen Zahlen als Summe dreier Kubikzahlen darstellbar ist, dann muss für alle Rester beliebiger MOD-Zahlen immer dasselbe gelten.

Für den Fall 42, sollte (X^3 MOD 42 + Y^3 MOD 42 + Z^3 MOD 42) MOD 42 = 0 gelten. Man könnte also für die 42 bis zur Zahl 42 gehen und sämtliche Rest-Kombinationen in eine dicke Gleichung packen.
Man ermittelt also alle Rester von n³ MOD a [a=9..42] und schaut, was in der Summe ein Vielfaches von 42 ergibt. So stelle ich mir das vor.

Für a=9 könnte man argumentieren:

Alle Kubikzahlen MOD 9 lassen den REST 0,1,8 übrig.
42 MOD 9 = 6.

Die 6 käme nur als 6=8-1-1 oder 6=(8+8-1) MOD 9 infrage.
Also knapp gesagt, X,Y,Z kann nicht Vielfaches von 9 sein, für die angestrebte Lösung 42.

Laut Lösung in der Tat:

X³ MOD 9 = 1 -> -1, wegen -X^3
Y³ MOD 9 = 8
Z³ MOD 9 = 8
__________________________________________________
Für den späteren Leser....

Meine Ergänzung zu: Warum 4+9n und 5+9n nicht darstellbar sind ?!

Da alle Kubikzahlen MOD 9 nur 0,1,8 als Rest zulassen, müsste bei Zahlen 4+9n und 5+9n ebenfalls die 4 oder 5 mit je 3 Summanden aus [0,1,8] darstellbar sein ! Das ist nicht möglich.
Eine Tabelle:
REST MOD 9 : ein Bsp für Summe aus X,Y,Z [MOD 9]
0: 0+0+0
1: 0+0+1
2: 0+1+1
3: 1+1+1
4: -
5: -
6: 8-1-1
7: 8-1-0
8: 8+1-1


 


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LaLe
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-25 20:42


Irgendwie interessant, dass ich mit meinem Computer in sekundenbruchteilen die Gleichung verifizieren kann. Da fragt man sich fast, warum man diese Zahlen nicht einfach schon früher in der richtigen Reihenfolge in den Computer getippt hat :-P

LG,
LaLe



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-25 21:58


Ich hatte dir Gleichung gerade mal mod8 (da jedes gerade Kubik 0 wird aber die Lösung 2 als Rest geben soll) und mod6 (da x^3 mod 6 = x mod 6) betrachtet.
Aber mod 18 war dann iwie interessanter ^^

Es muss ja 6 (oder 24, 42) herauskommrn dann...
Möglich ist dies nur mit:
8+8+8 (nicht möglich da mod8 2 zahlen ungerade sein müssen)
8+17+17

Damit muss eine Zahl 6k+2 sein und die andern beiden 6k+5.

Jetzt kann man noch mod24 gehen um die 6k+5 zu spezifizieren: (24k+5, 24k+5); (24k+11, 24k+23) oder (24k+17, 24k+17)

So kann man gut die Zahlen eingrenzen. Mod72 bringt wohl auch noch was.



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