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Strukturen und Algebra » Gruppen » Untergruppe
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Universität/Hochschule J Untergruppe
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-08


Guten Tag

Ich schreibe morgen meine Prüfung in der linearen Algebra 1&2. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich bei den Untergruppen eine Frage habe. Ich verstehe nicht wieso (5Z,+) keine Untergruppe von (15Z,+) aber umgekehrt (15Z,+) eine Untergruppe von (5Z,+) ist...

Vielen Dank für eine schnelle Antwort

Math_user  confused



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist einfach. Eine Untergruppe kann doch nicht Elemente enthalten, die nicht gleichzeitig auch Element der zugehrörigen Gruppe sind. Sprich: ist H eine (echte) Untergruppe von G, so gilt stets \(H\subset G\).

In deinem Fall wären bspw. die Elemente 5 und 10 ja nicht Elemente der Gruppe \((15\IZ,+)\).


Gruß, Diophant


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\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Oh mein Gott vielen Dank, dies ergibt natürlich Sinn. Aber nur so theoretisch, beide (echte und falsche) Untergruppe sind sehr wohl abgeschlossen bezüglich der Addition und besitzen ein Inverses in der Untergruppe, oder?

Vielen Dank nochmals für deine schnelle und aufklärende Antwort!

Math_user

2019-09-08 10:05 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

das ist einfach. Eine Untergruppe kann doch nicht Elemente enthalten, die nicht gleichzeitig auch Element der zugehrörigen Gruppe sind. Sprich: ist H eine (echte) Untergruppe von G, so gilt stets \(H\subset G\).

In deinem Fall wären bspw. die Elemente 5 und 10 ja nicht Elemente der Gruppe \((15\IZ,+)\).


Gruß, Diophant


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\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo nochmals,

2019-09-08 10:58 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Oh mein Gott vielen Dank, dies ergibt natürlich Sinn. Aber nur so theoretisch, beide (echte und falsche) Untergruppe sind sehr wohl abgeschlossen bezüglich der Addition und besitzen ein Inverses in der Untergruppe, oder?

Zunächstmal: falsche Untergruppen gibt es nicht.  wink

Es ist wie bei den Mengen: eine echte Teilmenge \(A\) einer Menge \(B\) besitzt nicht alle Elemente von \(B\). Man schreibt dann \(A\subset B\) oder auch \(A\subsetneqq B\). Genau so sagt man 'echte Untergruppe', wenn man die Gruppe selbst ausschließen möchte. Denn jede Gruppe ist ja auch (triviale) Untergruppe von sich selbst.

Abgeschlossenheit bzgl. der Gruppenverknüpfung, neutrales Element sowie zu jedem Element \(h\) sein Inverses \(h^{-1}\) sind ja die definierenden Eigenschaften von Untergruppen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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