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Universität/Hochschule J Tensorprodukt in Quanteninformation
8a0kl3kxn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-08


Hallo,

Sei \(|\psi_1\rangle \in \mathcal{H}_1\) und \(|\psi_2\rangle \in \mathcal{H}_2\) with \(\dim(\mathcal{H}_1)=d_1\) und \(\dim(\mathcal{H}_2)=d_2\).
Dann ist der Zustand \(|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle \in \mathcal{H}=\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2\), wobei \(\otimes\) das Tensorprodukt darstellt.

Was die Hilberträume angeht, verstehe ich diese Definition, denke ich: \(\dim (\mathcal{H})=\dim(\mathcal{H}_1) \cdot \dim(\mathcal{H}_2)\)

Ich habe jedoch Probleme zu verstehen, wie das Tensorprodukt zwischen den Zustandsvektoren \(|\psi_i\rangle\) definiert ist.

Soweit ich mit dem Tensorprodukt vertraut bin, ist das Tensorprodukt zweier Vektoren der Dimensionen \(d_1\) und \(d_2\) eine \(d_1\times d_2\) Matrix.

Da ein Zustand aber durch einen Vektor im Hilbertraum dargestellt ist, würde ich einen Vektor mit Dimension \(d_1\cdot d_2\) erwarten.

Wo habe ich hier ein Missverständnis?

Danke!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-08


2019-09-08 13:16 - 8a0kl3kxn im Themenstart schreibt:
Soweit ich mit dem Tensorprodukt vertraut bin, ist das Tensorprodukt zweier Vektoren der Dimensionen \(d_1\) und \(d_2\) eine \(d_1\times d_2\) Matrix.

Das ist so nicht richtig.

Man kann das Tensorprodukt $W\otimes V'$ (wo $V'$ den Dualraum zu $V$ bezeichnet) mit $\hom(V,W)$ identifizieren – speziell also $\mathbb C^{d_1}\otimes\mathbb C^{d_2}$ mit $\mathbb C^{d_1\times d_2}$ –, aber das bedeutet nicht, dass das Tensorprodukt zweier Vektoren eine lineare Abbildung ist.

In deinem Kontext ist es nicht sinnvoll, diese Identifikation vorzunehmen. Du kannst und solltest also $|\psi_1\rangle\otimes|\psi_2\rangle$ einfach als einen Vektor des $d_1\cdot d_2$-dimensionalen Vektorraums $\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$ betrachten.

--zippy



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8a0kl3kxn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08


Ok, danke, das macht Sinn.

Wie würde ich konkret das Tensorprodukt dreier Vektoren bilden?

Also

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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-08


2019-09-08 14:13 - 8a0kl3kxn in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie würde ich konkret das Tensorprodukt dreier Vektoren bilden?

Sukzessive, wie für zwei Vektoren. Das Tensorprodukt von Vektorräumen ist assoziativ.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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8a0kl3kxn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08


Danke!



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8a0kl3kxn hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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