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Mathematik » Analysis » Nullstellen holomorpher Funktionen
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Universität/Hochschule J Nullstellen holomorpher Funktionen
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-11 04:40


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Jonas95
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-11 09:45


Hi,

sagt dir der Identitätssatz etwas?
Der ist bei solchen Aussagen oft hilfreich.

LG
Jonas



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 14:49


Hallo, der Identitätssatz ist mir bekannt. Leider bin ich mir nicht sicher wie er hier angewendet werden kann.
0 ist meiner Meinung nach eine doppelte Nst. ist 0 damit auch ein Häufungspunkt? Falls ja müsste meine Annahme mit dem Aussehen von f(z) ja stimmen oder?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-11 15:16


Das Schlüsselwort in der Aufgabe ist: "Bestimmen Sie alle holomorphen Funktion". Falls Du nun eine weitere Funktion $g$ mit dieser Eigenschaft hast, schau Dir $f-g$ mit dem Identitätssatz an.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 17:23


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-11 17:41


$cos(1/z)$ hat eine wesentliche Singularität in $0$. Daher ist Dein $g$ keine Lösung. Aus $f$ holomorph auf $\IC$ und $f(1/n)=\ldots$ folgt $f(0)=0$ (einfach wegen der Stetigkeit von f).

Angenommen wir haben noch eine Lösung $g$ (ohne diese näher zu kennen). Wo hat $f-g$ Nullstellen? Kleiner Hinweis: Was benötigst Du für den Identätssatz?



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 18:03


Also angenommen g wäre auch eine Lösung, dann hätte f-g überall dort eine Nst, wo f=g gilt also bei alle natürlichen Zahlen und bei z=0. D.h. 0 ist ein Häufungspunkt von f-g.
Die Version des Identitätssatzes die ich kennen lautet:

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Nun stimmen f und g auf der Teilmenge der natürlichen Zahlen und 0 überein wobei 0 ein Häufungspunkt ist. Damit gilt f=g auf ganz G. Als G hätte ich nun einen beliebig großen Kreis um 0 gewählt.
Heißt das einfach es gibt keine andere Lösung als das gegebene f?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-11 18:23


Im Prinzip wird daraus eine Lösung. Nur bist Du zwischendurch ganz herb falsch abgebogen. Die Indentitätsmenge ist $M:=\{0\}\cup\{\frac{1}{n};n\in\IN\}$ und nicht $\IN$. Da $M$ einen Häufungspunkt in $0$ hat und $0$ auch in $M$ liegt, folgt dann mit dem Id.-satz $f\equiv g$.

Bemerkung: Die Nullstellen von $\cos(\frac{2\pi}{z})$ haben auch einen Häufungspunkt bei $0$. Da $0$ aber nicht zum Definitionsbereich gehört, können wir den Identitätssatz nicht anwenden (Sonst wäre $\cos(\frac{2\pi}{z})\equiv 0$).



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 18:26


Also ist die Lösung es gibt nur das vorgegebene f?
Das = mit der Strichen bedeutet doch, dass die beiden Funktionen identisch sind oder?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-11 18:36


Ja und ja!



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-11 18:42


Vielen Dank! :)



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