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Mathematik » Zahlentheorie » Primzahlen-Reihe geht gegen Wurzel 2
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Kein bestimmter Bereich J Primzahlen-Reihe geht gegen Wurzel 2
haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-11 21:57


Eine Spielerei hat dazu geführt, und zwar, bildet man eine Reihe mit Primzahlen, ähnlich der Reihe für die Eulersche Zahl e: $$\frac{\mathcal{p}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot5}+\frac{1}{2\cdot3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot 11}+...\approx\frac{1}{2}\sqrt{2}$$
$$\mathcal{p}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7\cdot 11}+...\approx\sqrt{2}$$
Erhält man als Ergebnis $\mathcal{p}=\sqrt{2}$ ?
Bestimmt nicht neu, nur mir war es so nicht bekannt.
Wie kann man zeigen dass tatsächlich $\sqrt{2}$ das genaue Ergebnis ist.

$$\mathcal{p}^2=\Big(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7\cdot11}+...\Big)^2\approx2$$


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Gruß haegar90



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-11 23:00


Hallo,

die dritte Nachkommastelle widerlegt deine Vermutung: hier.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-12 09:20


Eine einfache Abschätzung wäre:
\(p < 1 + 1/3 + 1/15 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} 1/7^i = 4/3 + 7/90 = 127/90 < \sqrt{2}\)



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12 11:10


@Nuramon, danke, damit ist es erledigt. Eigentlich von den Primzahlen eine Frechheit  smile  

@MartinN, was/wofür soll das sein  confused


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Gruß haegar90



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-12 11:17


2019-09-12 11:10 - haegar90 in Beitrag No. 3 schreibt:
@MartinN, was soll das sein  confused

Eine denkbar einfache Widerlegung von $p=\sqrt 2$, oder was denkst du?  eek



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12 11:22


Der Groschen ist gefallen.  smile


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Gruß haegar90



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14 14:14



$$\mathcal{p}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7\cdot 11}+...\approx 1.4104603435....$$

Mit $2p\approx2,8209206871672038605...$ und dem damit gebildeten $\log_{2p}$, Logarithmus zur Basis $2p$, hier bezeichnet mit $lp$, ergibt sich für $\pi(x)\approx\frac{x}{lp(x)}$ eine deutlich bessere Näherung als für $\pi(x)\approx\frac{x}{ln(x)}$

Zumindest für die hier betrachteten $x\leq 10^{12}$



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Gruß haegar90



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-14 14:57


2019-09-14 14:14 - haegar90 in Beitrag No. 6 schreibt:

$$\mathcal{p}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7\cdot 11}+...\approx 1.4104603435....$$

Mit $2p\approx2,8209206871672038605...$ und dem damit gebildeten $\log_{2p}$, Logarithmus zur Basis $2p$, hier bezeichnet mit $lp$, ergibt sich für $\pi(x)\approx\frac{x}{lp(x)}$ eine deutlich bessere Näherung als für $\pi(x)\approx\frac{x}{ln(x)}$

Ist leider wieder einmal nur eine Beobachtung, welche für "kleine" Zahlen stimmt. Es gilt ja
\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\frac x{\text{lp}(x)}}{\pi(x)}=\ln(2p)\approx 1.037\] d.h., es liegt hier asymptotisch eine relative Überschätzung um etwa 3.7% vor, während der prozentuale Fehler bei der Schätzung von $\pi(x)$ durch $x/\ln(x)$ bekanntlich gegen Null geht, also für "wirklich große" $x$ dann schließlich klar besser ist. Hast du schon mal den etwas größeren Wert $x=10^{27}$ in der Tabelle hier ausprobiert?  cool



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-14 18:52


Ja mit $lp(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2p)}^{(*)}$ liegt für $x=10^{27}$ der Wert $\pi(x)\approx\frac{x}{lp(x)}=\frac{x\;ln(2p)}{\ln(x)}$ bereits 2 Prozent $ (+2,00999183080585\; \%)$ über $\pi(x)$ was mit $(\frac{2p}{ \mathrm{e}}-1)*100\%\approx 3,776 \%^{(*)}$ jetzt leider  frown  auch zu erwarten war. smile


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Gruß haegar90



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15 14:24


$$p(x)= \ln{(\mathrm{e}+\frac{1}{\sqrt[7]{x}})}$$
$$\pi(x)\approx\frac{x\cdot p(x)}{ln(x)}-1=\frac{x\cdot \ln{(\mathrm{e}+\frac{1}{\sqrt[7]{x}})}}{ln(x)}-1\;\;\;(*)$$
Mit $^{(*)}$ erhält man für $(10\leq x\leq \infty)$ durchgängig bessere Ergebnisse als mit $\pi(x)\approx\frac{x}{ln(x)}$.  cool
Das ist mit $\Delta\pi(x)_{max}<3,572\%$ noch nicht besonders gut aber vielleicht lässt sich $p(x)$ noch soweit verändern dass die Abweichung zu $\pi(x)$ stets $<1\%$ ist. Dazu müsste man allerdings wissen ab wann $\pi(x)\approx\frac{x}{ln(x)}$ einen kleineren Fehler als $1\%$ aufweist und daher wäre das naheliegendere Ziel $\Delta\pi(x)_{max}<1,64\%$.  smile


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Gruß haegar90



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-15 15:41


Hi,

es gibt doch die Funktion R(x), siehe Link Seite 51.

Die ersten 50 Millionen Primzahlen (Don Zagier)

Gruß, Slash



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15 17:02


Damit finden meine Spielereien wohl zumindest in dieser Richtung abrupt ein Ende.  frown
Der Beweis der Zetafunktion, (youtube)  eek  lässt einen schon erstaunen.  smile




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Gruß haegar90



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-09-15 17:11


Ich hatte mal versucht die Funktion R(x) mit einem zusätzlichen Korrekturterm zu versehen, der die Anzahl an Pi(x) noch genauer annähert. Das ging zwar für bestimmte Bereiche, doch in anderen Bereichen gab es dafür stärkere Abweichungen. Damit herumzuexperimentieren macht aber Spaß.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-15 17:24


Siehe auch mathworld.wolfram.com/RiemannPrimeCountingFunction.html

Cyrix



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18 22:51


Für eine Untersuchung, der Primzahl-Lücken für die Intervalle $\big[1....[e^x]\big]$ mit $x \in \mathbb{N}$ ergeben sich für $[e^x]$ die Grenzen $3, 7, 20, 55, 148, 403, 1097,....$ d.h. betrachtet man ein Intervall mit drei Elementen, so erhält man 7 Tupel denn (*) ist das erste Tupel in dem keine Primzahl vorhanden ist.
Daten für $[e^1]=3$
Daten für $[e^1]=3$ sind es 7 Tupel
1	2	3
2	3	4
3	4	5
4	5	6
5	6	7
6	7	8
7	8	9
8	9	10 (*)

Daten für $[e^2]=7$
für $[e^2]=7$ sind es 89 Tupel
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
...
....
89	90	91	92	93	94	95
90	91	92	93	94	95	96 (*)
 


Für $[e^3]=20$ sind es $1129$ Tupel bis zum ersten 20er Tupel ohne Primzahl und für $[e^4]=55$ ergeben sich schon $31397$. Nun lasse ich gerade die nächst höhere mit $[e^5]=148$ laufen und mein Rechner kommt auch nach vier Stunden nicht zum Ende.  confused Wenn jemand da rechnertechnisch besser ausgerüstet ist, würde ich mich über ein Ergebnis für 148 oder sogar für 403 freuen. smile Edit: Habe es gefunden, Ergebnisse stehen alle im Netz.






-----------------
Gruß haegar90



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19 12:40


Einige Ergebnisse sind auf dieser Seite zu finden. hier




---- --------------------  ----------------------------
gap   following the prime  reference
---- --------------------  ----------------------------
   0                    2
   1                    3
   3                    7
   5                   23
   7                   89
  13                  113
  17                  523
  19                  887
  21                 1129
  33                 1327
  35                 9551
  43                15683
  51                19609
  71                31397  wird schon mit 55 erreicht
  85               155921
  95               360653
 111               370261
 113               492113

Es ist dort für 71 das Ergebnis 31397 ausgewiesen was aber schon mit 55  cool  erreicht wird. Es macht daher wohl Sinn die Suchen mit $[e^x]$ als Intervallgrenzen  durchzuführen. Gleiches gilt für 20 statt 21 und vermutlich für noch einige weitere "falsche" Rekorde  wink , die ich aber leider mangels Rechnerpower nicht einfach nachprüfen kann.  confused


-----------------
Gruß haegar90



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haegar90 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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