Die Mathe-Redaktion - 14.10.2019 16:06 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 371 Gäste und 17 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » ''kleine'' + kurze exakte Sequenzen reichen aus?
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J ''kleine'' + kurze exakte Sequenzen reichen aus?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 549
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-12


Hey,
ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, wo ich etwas nicht verstehe.
R sei ein Integritätsring. Wenn die Sequenz von R-Moduln \(0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \) exakt ist, dann auch \(0 \rightarrow T(M') \rightarrow T(M) \rightarrow T(M'') \), wobei \(T(M)\) die Torsionselemente von M sind.

Warum ist links eine 0? Wenn ich die 0 bei beiden Sequenzen ignoriere und die Exaktheit bei \(T(M)\) zeige, dann folgt doch automatisch auch die Exaktheit bei \(T(M')\) oder nicht? Ich splitte sozusagen die Sequenz in zwei kleinere, wobei einer der neuen Sequenzen eine allgemeinere Form hat als die andere (statt einem beliebigen Modul steht da der 0 Modul). Das heißt doch irgendwie, dass die beiden kleineren Sequenzen nicht miteinander in Beziehung stehen, oder doch bei der Überschneidung (mittlerer Pfeil)?

Und generell finde ich das Konzept von Exakten Sequenzen noch bisschen mystisch, warum sind diese so wichtig und in welchem Gebiet hat man sie als erstes betrachtet?

Red_

Edit: der erste Teil stimmt nicht, man braucht die 0 für die Exaktheit an der Stelle  \(T(M)\), da man an einer Stelle die Injektivität braucht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3855
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-13


2019-09-12 14:51 - Red_ im Themenstart schreibt:
Wenn die Sequenz von R-Moduln \(0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \) exakt ist, dann auch \(0 \rightarrow T(M') \rightarrow T(M) \rightarrow T(M'') \), wobei \(T(M)\) die Torsionselemente von M sind.

Warum ist links eine 0?
 
$0 \to T(M') \to T(M)$ ist exakt, weil $T(M') \to T(M)$ injektiv ist (das ergibt sich aus der Injektivität von $M' \to M$). Wenn die $0$ da nicht stehen würde, würde man diesen Sachverhalt einfach nicht ausdrücken.

Wenn ich die 0 bei beiden Sequenzen ignoriere und die Exaktheit bei \(T(M)\) zeige, dann folgt doch automatisch auch die Exaktheit bei \(T(M')\) oder nicht?

Nein.

Beispiel (in einem anderen Kontext): Für jeden Modul $A$ ist $A \to 0 \to 0$ exakt, aber $0 \to A \to 0 \to 0$ ist nur dann exakt, wenn $A=0$. Wenn man eine $0$ anhängt, ergibt sich die Exaktheit also nicht automatisch.

Ich splitte sozusagen die Sequenz in zwei kleinere, wobei einer der neuen Sequenzen eine allgemeinere Form hat als die andere (statt einem beliebigen Modul steht da der 0 Modul). Das heißt doch irgendwie, dass die beiden kleineren Sequenzen nicht miteinander in Beziehung stehen, oder doch bei der Überschneidung (mittlerer Pfeil)?
 
Das ist etwas unklar formuliert, aber es scheint mir, dass du Recht hast. In jedem Falle gilt: die Exaktheit an einer Stelle bedingt nicht die Exaktheit an einer anderen Stelle, selbst wenn sich die beteiligten Moduln überschneiden.

Und generell finde ich das Konzept von Exakten Sequenzen noch bisschen mystisch, warum sind diese so wichtig und in welchem Gebiet hat man sie als erstes betrachtet?
 
Ein gutes Gefühl stellt sich mit der Zeit ein. Exakte Sequenzen sind in der algebraischen Topologie entstanden (Details: mathoverflow.net/questions/160183/origin-of-exact-sequences ). Für mich war ein sehr motivierendes Beispiel damals, die simpliziale Homologie (de.wikipedia.org/wiki/Simpliziale_Homologie) kennenzulernen und ein paar konkrete Beispiele (Tetraeder usw.) damit zu berechnen: da sieht man recht schön, wozu diese Sequenzen in der Geometrie gut sind.

Edit: der erste Teil stimmt nicht, man braucht die 0 für die Exaktheit an der Stelle  \(T(M)\), da man an einer Stelle die Injektivität braucht.
 
Nein, die Exaktheit an der Stelle $T(M)$ betrifft nur den Teil $T(M') \to T(M) \to T(M'')$, nicht die $0$ davor.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Fabi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4501
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-13


Hi,

2019-09-13 08:36 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
2019-09-12 14:51 - Red_ im Themenstart schreibt:
Edit: der erste Teil stimmt nicht, man braucht die 0 für die Exaktheit an der Stelle  \(T(M)\), da man an einer Stelle die Injektivität braucht.
 
Nein, die Exaktheit an der Stelle $T(M)$ betrifft nur den Teil $T(M') \to T(M) \to T(M'')$, nicht die $0$ davor.

Wenn man zeigen könnte, dass für A -> B -> C exakt bei B immer auch T(A)->T(B)->T(C) exakt bei T(B) wäre, wäre T ja insgesamt schon exakt. Ich denke, das ist, was Red meint  ;-).

vG,
Fabi


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 549
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


Hi Triceratops,
vielen Dank für deine Antwort!!

Ja, das meinte ich Fabi.

Red_



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 549
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Noch eine Frage, die mir eingefallen ist.

Ist \(T\) ein linksexakter Funktor?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3855
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-15


Die Linksexaktheit ist genau diese Aussage hier:

2019-09-12 14:51 - Red_ im Themenstart schreibt:
Wenn die Sequenz von R-Moduln \(0 \rightarrow M' \rightarrow M \rightarrow M'' \) exakt ist, dann auch \(0 \rightarrow T(M') \rightarrow T(M) \rightarrow T(M'') \), wobei \(T(M)\) die Torsionselemente von M sind.
 
Und ja, das ist erfüllt. Hast du Schwierigkeiten beim Beweis?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
AlgebraicInteger
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.11.2017
Mitteilungen: 20
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-15


Ja. Das ist doch die obige Aussage. Linksexakte Sequenzen bleiben unter der Anwendung von T linksexakt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 549
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Hi,
eigentlich ging es mir eher darum, dass T überhaupt ein Funktor ist, was erfüllt ist. Und die Linksexaktheit habe ich halt eben erst durch diesen Thread bemerkt, wobei natürlich noch oben die Additivität fehlt, d.h. \(T(M\oplus N) = T(M) \oplus T(N)\) (welche aber trivial ist zu zeigen).




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]