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\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\h}{h} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} 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Hallo zusammen.
In der Vorlesung hatten wir die folgende Proposition:
(Alles im Wortlaut der Vorlesung)
$\Prop$
Sei $f(z)=\sum_\a f_\a z^\a $ mit $f_\a=O(R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ gilt, dann gilt
$\sup\set{\abs{f(z)}}{\abs{z_i}\lneq R_i}=\sup\set{R_1^{\a_1}\pts R_n^{\a_n}\abs{f_\a}}{\a\in\N^n}$.

Es wurde folgender Beweis gebracht:

$\gudl{\sc{B}\!eweis\colon}$
Sei $\rho_i\in \C_p,\abs{\rho_i}<R_i$, then $f(\rho_1 z_1\cos \rho_n z_n)\in \T_n$ also $\max\{\abs{f(z)\mid \abs{z_i}\leq\abs{\rho_i}}\}=\max\{\abs{\rho_1}^{\a_1}\pts\abs{\rho_n}^{\a_n}\abs{f_\a}\}$ nach bekannten Eigenschaften von $\T_n$. Für $\rho_i\uparrow R_i$ konvergieren die beiden Seiten monoton gegen die beiden Seiten der behaupteten Gleichung.
$\qed$

Beim Versuch das zu verstehen bin ich gescheitert.

$\bul$ Erstmal würde ich davon ausgehen, dass eigentlich $f(z)=\sum_{\a}f_\a z_1^{\a_1}\pts z_n^{\a_n}$ strenggenommen $f=\sum_{\a}f_\a X_1^{\a_1}\pts X_n^{\a_n}\in \C_p[X_1\cos X_n]$ heißen sollte, denn $f(z)$ ist normalerweise die Schreibweise für den Wert von $f$ an der Stelle $z\in \C_p$.

$\bul$ Die Schreibweise $f_\a=O(R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ ist in der Tat ein großes $O$ und kein kleines, denn der Dozent bemerkte, dass wenn man hier das große durch ein kleines $O$ ersetzen würde, dann bekäme man eine ähnliche Situation wie sie in der Rigiden Analytischen Geometrie betrachtet wird.

$\bul$ Ich vermute, dass $f_\a=O(R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ bedeutet, dass es eine Konstante $C>0$ sodass $\forall \a\in\N^n$ mit $\nrm{\a}\geq N$ gilt $f_\a\leq C\pt R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n}$.

$\bul$ Dass einmal $\lneq$ dort steht und im Beweis aber $\leq$ scheint mir ein Schreibfehler des Dozenten zu sein ?!

$\bul$ $\T_n$ haben wir in dieser Vorlesung nicht definiert, aber in einer anderen Vorlesung des gleichen Dozenten wurde
$\T_n$ (die Tate-Algebra) wie folgt definiert:
$\T_n\colon\defeq\set{\sum_{\a}f_\a X_1^{\a_1}\pts X_n^{\a_n}}{f_a\to 0,\tx{wenn} \nrm{\a}\to 0}$ wobei $\nrm{\a}\colon\defeq \max\{\abs{\a_1}\cos \abs{\a_n}\}$.

$\bul$ Ich habe versucht den Beweis nachzuvollziehen.
Zum Beispiel:
Seien die $\rho_i$ wie im Beweis.
Wir wollen zeigen, dass $f(\rho_1 z_1\cos \rho_n z_n)\in \T_n$ gilt.
Egal wie genau $\T_n$ definiert ist - entweder so wie oben, oder so ähnlich? - es steht fest, dass $f(\rho_1 z_1\cos \rho_n z_n)$ ein Element von $\C_p\Xen$ sein muss. Das bedeutet, dass die $z_i$ hier tatsächlich nicht Elemente von $\C_p$, sondern Variablen einer Polynomalgebra bezeichnen.

Demnach gilt für das Element $g\colon\defeq f(\rho_1 z_1\cos \rho_n z_n)$ $g_\a=f_\a\pt \rho_1^{\a_1}\pts \rho_n^{\a_n}$.

Nun soll $\abs{g_\a}\to 0$ für $\nrm{\a}\to \infty$ gezeigt  werden, wobei $f_\a=O(R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ benützt werden darf.

Es gilt $\abs{g_\a}=\abs{f_\a}\pt \abs{\rho_1}^{\a_1}\pts\abs{\rho_n}^{\a_n}\leq \abs{f_\a}R_1^{\a_1}\pts R_n^{\a_n}\leq C$ wo $C$ die durch $f_\a=O(R_1^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ implizierte Konstante ist.

Hierraus folgt aber nicht, dass $\abs{f_\a}\to 0$ geht, aber vielleicht muss eine andere Definition von $\T_n$ her!?
Sei also $\T_n$ durch die Bedingung $\exists K>0\colon \abs{f_\a}\leq K$ definiert.

Was könnten die "bekannten Eigenschaften" von $\T_n$ sein, von denen im Beweis die Rede ist?


Per Hand bekommt man ja nur $\abs{f(z)}\leq \pts \leq \sum_\a C$, was mit Sicherheit nicht endlich ist.

$\bul$ Der Beweis macht keinen Sinn für mich, und einen Beweis per Hand habe ich nicht gefunden. Ist die Aussage überhaupt korrekt?

Es wäre schön, wenn sich jemand zu Wort melden könnte, der entweder diese Proposition kennt, oder sie besser versteht als ich.

Viele Grüße und vielen Dank für eure Beteiligung.
XST

EDIT
Die Proposition wurde verwendet, um zu zeigen, dass eine Potenzreihe $f=\sum_{\a}f_\a X^\a$ auf $\mathbb{D}_R^\circ\colon\defeq \set{z\in \C_p^n}{\abs{z_i}< R_i}$ genau dann beschränkt ist, wenn  
$f_\a=O(R^{-\a_1}\pts R_n^{-\a_n})$ gilt.




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