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Mathematik » Stochastik und Statistik » Monotones Konvergenz-Theorem
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Universität/Hochschule J Monotones Konvergenz-Theorem
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-13


Hallo alle zusammen.

Wenn man sich mit Lebesgue-Integralen beschäftigt, so ist ja eine interessante und wichtige Frage, wann $\lim\limits$ und $\int$ vertauschen. Eine solche Antwort liefert dann das monotone Konvergenz-Theorem, welches sich z.B. hier auf Seite 15 findet (Theorem 3.5.6).

So, jetzt habe ich aber in einem Lehrbuch eine weitere bzw. völlig andere Formulierung dieses Theorems gefunden, nämlich folgende: "Let $\mu$ be a measure on $(\mathsf X, \mathscr X)$ and let $\{f_i, i \in \mathbb N\} \subset \mathbb F_{+}(\mathsf X)$ be an increasing sequence of functions. Let $f= \sup_{n\to \infty}f_n$. Then \[\lim\limits_{n \to \infty}\mu(f_n) = \mu(f).\ "\]  

Ich verstehe einfach noch nicht, seit wann ein Maß auf eine Funktion wirkt statt auf ein Element aus einer $\sigma$-Algebra.


Gruß,
Neymar

PS: $\mathbb F_{+}(\mathsf X)$: Vektorraum der Borel-messbaren Funktionen von $(\mathsf X, \mathscr X) \to (\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))$.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-13


Huhu Neymar,

$\mu(f) = \int f \: \mathrm{d}\mu$ ist nur eine verkürzte (und weit verbreitete) Schreibweise.

lg, AK.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


Huhu AK,

das ist gut zu wissen!

Weitere Frage: Auf dem Bild wird einmal nach dem Beispiel definiert, was ein Kernel angewandt auf eine (messbare) Funktion ist. Explizit steht ja etwas der Form \[ Nf(x) = N(x,dy)f(y) \] da. Aber weiter unten im Beweis von Proposition 1.2.5 heißt es kurz vor Ende: \[ Nf(x) = \int_{\mathsf Y} f(y)N(x,dy)\ .\] Ist das kein Widerspruch, bzw. was gilt denn jetzt?



-- Neymar



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-13


Wie gesagt, das ist das Gleiche.

Ist $\mu$ ein Mass, so schreibt man $\mu f = \mu(f) = \int f \mathrm{d} \mu $. Hier ist das Mass eben $\mu=N(x,dy)$ (und $N$ ist ja ein Markov-Kern), und das wird nochmal weiter abgekürzt zu $Nf=N(x,dy)f=\int f N(x,dy)$.

Nun, das mag alles ein wenig übertreibend platzsparend und etwas informal wirken... Aber ohne solche Abkürzungen sind Beweise in der Analysis völlig unleserlich und ziehen sich über 40 statt über 10 Seiten hin...

Etwas formaler (wie im Text angegeben) könnte man $M: \mathbb{F}_+(Y) \rightarrow \mathbb{F}_+(X)$ mit $Mf=\int f N(x,dy)$ setzen und dann ("slight abuse of notation"...) schlicht $M=N$ identifizieren.

lg, AK.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-15


Huhu Neymar,

um einige Aspekte der Diskussion über PMs auch anderen zugänglich zu machen bzw. andere zu motivieren hier ggf. zu unterstützen, versuche ich mich mal an einer etwas allgemeineren Ausführung.

Du scheinst sehr mit der Form der Aussagen in der Stoch. Analysis zu hadern; und ich will gerne zugeben, dass diese in Werken der Analysis (insbesondere. in der Wahrscheinlichkeitstheorie) oft ein wenig salopp gehandhabt wird. Man mag nun spekulieren, ob dies daran liegt, dass solche Texte eher von Menschen verfasst werden, die mehr am Inhalt der Aussagen interessiert sind und diese eben nicht nur als rein formal begreifen... Aber das führt zu weit.

Ich möchte Dir ein anderes Beispiel zeigen, dem Du sicherlich bereits begegnet bist bzw. begegnen wirst: Die Notation im Kontext stochastischer Prozesse.

Ist $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $(S, \mathcal{S})$ ein messbarer Raum und $T$ eine beliebige Menge, so heisst eine Abbildung $X:\Omega \times T \rightarrow S$ ein stochastischer Prozess, wenn für jedes $t\in T$ die Abbildung $\phi:\Omega \rightarrow S$ eine Zufallsvariable, also $\mathcal{A}-\mathcal{S}$-messbar ist.

Ohne weitere "Interpretation", kann man also sagen: Aha, $X$ ist eine Abbildung mit irgendwelchen Zusatzeigenschaften, aber im Grunde ist das ja nur eine "Vorschrift" $(\omega, t) \mapsto X(\omega, t)$ (oder noch steriler kann man $X \in S^{\Omega \times T}$ bemerken) und es dabei bewenden lassen. Das ist vielleicht hilfreich, wenn man mit den Begriffen nicht so vertraut ist und potentielle Aussagen rein formal auf "Möglichkeit" prüfen will. Du scheinst mir noch sehr in diesem Stadium zu verweilen (das ist keineswegs kritisch gemeint, es ist sicher wichtig, dies einmal zu verinnerlichen).

Nun schreibt man aber üblicherweise $X_t(\omega) := X(\omega, t)$. Warum? Nun, dies drückt die Eigenschaften des Prozesses vielleicht "besser" aus: Für jedes $t\in T$ ist ja $X_t : \Omega \rightarrow S$ per Definition eine Zufallsvariable (und damit sind viele Eigenschaften bereits klar). Die weitaus bedeutsameren Konsequenzen über einen gegebenen Prozess ergeben sich aus den Eigenschaften der so genannten Pfadabbildung $\pi: \Omega \rightarrow S^T$, $(\pi(\omega))(t) \mapsto X_t(\omega)$.

Man kann nun ohne große Verwirrung den Zusatz "$(\omega)$" weglassen. Man schreibt also $X_t$ und meint damit entweder die o.a. Zufallsvariable oder auch einen Wert $X_t(\omega_0)\in S$. Allerdings bezeichnet man auch durchaus verbreitet den gesamten Prozess oft ("slight abuse of notation...") mit diesem Symbol. "$X_t$" steht also je nach Kontext für den Prozess $X$, (selten: die Pfadbbildung $\pi$), die Zufallsvariable $X(\cdot,t)$ oder eine konkrete Realisation $X(\omega_0, t)$.

Beispielsweise ist es völlig natürlich (wenn auch sicher übertrieben) zu schreiben:

Sei $B_t$ eine Brown'sche Bewegung. Dann ist $B_t \sim \mathcal{N}(0,t)$ und fast alle Pfade von $B_t$ sind nicht hölderstetig vom Grad $\alpha$ für jedes $\alpha>1/2$. Daraus folgt, dass es ein $A\in\mathcal{A}$ mit $\mathbb{P}(A)=1$ gibt, so dass $A \subset \{B_t \notin C^1(T,\mathbb{R})\}$ (etwas genauer gilt: fast alle Pfade der Brown'schen Bewegung sind nirgends differenzierbar).

Zunächst meint also $B_t$ den gesamten Prozess (also eigentlich $B$), dann die Zufallsvariable (also $B(\cdot, t))$ und in der letzten Aussage einen konkreten Pfad (also $B(\omega, \cdot))$.

Man mag zwar die mangelnde formale Strenge kritisieren, müsste dann aber mit unzähligen Zusatzsymbolen herumhantieren und sich sprachlicher Verrenkungen bedienen, die für einen etwas geübteren Leser schlicht eine Zumutung darstellen.

Ich hoffe also, Dich ein wenig dazu zu motivieren, die Begriffe natürlich auch formal nachzuvollziehen, Dich aber vom  souveränen Umgang mit eben diesen nicht abschrecken zu lassen. Mittelfristig ist dies m.E.n. ein Gewinn, da man sich auf den Inhalt konzentrieren kann ohne diesen hinter überbordenem Formalismus zu verstecken.

lg, AK.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Hallo AK,

erst einmal danke für deine (motivierende) Nachricht. Ja, ich gebe ehrlich zu, dass die Konventionen und Notationen aus Doucs Buch ,,Markov Chains" einfach nicht klar werden. Ich kann verstehen, dass diese nicht behandelt werden (und dass man allgemein verbreitete Notationen und Konventionen benutzt), aber gerade deshalb bin ich hier und frage dich und zippy (die mir auch in einem nicht zu vernachlässigenden Maßstab hilft). Dafür bedanke ich mich herzlich bei euch beiden!

Ich habe in der Tat noch eine Frage zur Schreibweise. Und zwar hattest du mal Folgendes geschrieben:

$N(x,dx)$ bezeichnet die Abbildung $Y\rightarrow N(x,Y)$, die nach Definition eines Markovkerns gerade ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist (über das dann später stets integriert wird).

Aber bei Integralen steht ja auch nicht, wenn wir einfach nur ein Maß $\mu$ haben, $\int f\mu$, sondern vielmehr $\int fd\mu$. Deshalb frage ich mich, wieso wir hier z. B. $\int_{\mathsf Y} f(y)N\left(x,dy\right)$ schreiben können. Oder ist nicht $N(x,dy)$ ein Maß, wie du mal geschrieben hattest, sondern $N(x,\mathsf Y)$, und um kennzuzeichnen, dass wir über $y$ integrieren, schreiben wir $N(x,dy)$, was praktisch für $dN(x,\mathsf Y)$ steht?

Ich hoffe, dass es klar wird, was ich meine.

-- Neymar



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Es ist klar. :-) $N(x,dy)$ steht für ein Maß, man hätte stattedessen auch $N(x,\cdot)$ schreiben können.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-20


Huhu Neymar,

ganz formal würde man $dN(x,\cdot)$ schreiben.

Genauso wie einige Autoren $\mu X = \int X \mu(d\omega) = \int X d\mu$ schreiben, könnte man also im Falle eines Markov-Kerns $N$ hier schreiben: $Nf(x) = N(x,dy)f(y) = \int f(y)N(x,dy) = \int f(y) dN(x,\cdot)$.

lg, AK.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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