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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unkorreliert => Unabhängigkeit, Gegenbeispiel
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Universität/Hochschule J Unkorreliert => Unabhängigkeit, Gegenbeispiel
m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-13


Hallo, folgendes Beispiel steht in meinem Skript und ich verstehe es nicht komplett. Es ist ein Gegenbeispiel um zu beweisen, dass aus Unkorreliertheit nicht Unabhängigkeit folgt.

X ist eine Zufallsgröße mit

 \[P(X=-1) = P(X=0) = P(X=1) = \frac{1}{3}\], so gilt \[E[X\cdot X^2]= E[X^3]=E[X]=0\] und damit \[Cov[X,X^2]=E[X\cdot X^2]-E[X]\cdot E[X^2]=0-0=0\], d.h. X und X^2 sind unkorreliert.

Aber $X$ und $X^2$ sind nicht unabhängig, denn $P(X=1,X^2=1]=P(X=1)=\frac{1}{3}$ aber $P(X=1) \cdot P(X^2=1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$.

Mir ist grundsätzlich die Aussage klar,aber wie kommt man darauf, dass $P(X^2=1)$ ist.

Muss ich nicht $X^2$ Zufallsvariable $Z:=X⋅X$ betrachten; da $X$ die Werte 1,0,-1 annehmen, kann doch auch Z die Werte 1,0,-1 annehmen und es gilt z.B. $P(Z=1)=P(X=1,X=1)$

Vielleicht habe ich auch einfach einen kleinen Denkfehler und mir könnte jemand nochmal genau sagen, wie ich in diesem Fall $P(X,X^2)$ berechne, vielen Dank :)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo m_st_9797 und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Deine Frage lässt sich durch die naheliegende Rechnung \((-1)^2=1\) beantworten.  😉

Deine Zufallsvariable \(Z\) nimmt also nur die Werte aus \(\lbrace0,1\rbrace\) an.

Hilft dir das schon weiter?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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m_st_9797
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


Vielen Dank, ja wäre doch logischer gewesen, wie gedacht.

Wird also der Fall $P(X=1,X^2=0)$ gar nicht betrachtet, weil ja bereits aus dem ersten Fall klar ist, dass $X$ und$X^2$ abhängig sind, aber theoretisch würde ich Unabhängigkeit an einem anderen Bsp zeigen wollen, müsste ich dann für alle Fälle diese Rechnung nachprüfen, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

hier verstehe ich deine Frage jetzt nicht so ganz, um ehrlich zu sein.

Oben habe ich ja nur begründet, weshalb \(P(X^2=1)=\frac{2}{3}\) ist (eben weil das Quadrat für \(X=-1\) ebenfalls den Wert \(1\) annimmt).

Und ich hatte es so verstanden, dass dir dieser Wert in der Rechnung zur Widerlegung der Unabhängigkeit unklar war?

Der Fall \(X=1\wedge X^2=0\) kann ja nicht eintreten, aus den genannten Gründen.

Um stochastische Unabhängigkeit zweier ZVen nachzuweisen, musst du natürlich irgendwie nachweisen, dass sie die Definition der stochastischen Unabhängigkeit erfüllen.

Und ja, natürlich muss der Beweis für alle möglichen Fälle geführt werden. Das heißt nicht unbedingt, dass man (bei diskreten Zufasllvariablen) alle Fälle durchrechnen muss. Welche Vereinfachungsmöglichkeiten es da gibt, hängt meiner Ansicht nach vom Einzelfall, sprich von den konkreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ab.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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