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Strukturen und Algebra » Ringe » Lying over
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Universität/Hochschule J Lying over
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-13


Hey,
bei dem Lying over Theorem in unserer Vorlesung hatten wir folgendes stehen:
Sei \(\varphi : R \hookrightarrow R'\) ganz. Dann ist \(Spec(\varphi): Spec \, R' \to Spec \, R\) surjektiv.
Unser \(\varphi\) soll also injektiv sein. Aber ist das wirklich nötig? Wenn ich den Beweis anschauen, dann braucht man das an einer Stelle nur, aber diese Stelle kann man auch ohne die Injektivität beweisen (die Stelle wo man die Injektivität ausnutzt ist: man lokalisiert und sagt, dass der entstandene Ring nicht der Nullring ist).
Also wenn jemand von euch weiß, ob \(\varphi\) nicht unbedingt injektiv sein muss, dann ist alles gut. Wenn jedoch jeder von euch die Version mit der Injektivität kennt, würde ich gerne den Beweis anschreiben, ohne die Injektivität.

Red_



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-13


Hallo Red,

für $\varphi:R\to R/I$ ist $\varphi$ ganz aber $Spec(\varphi)$ nicht mehr surjektiv.



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


EDIT: Hier stand Blödsinn. Der Fehler war, dass ich von einem Primideal ausgegangen bin, was nicht existieren muss.
 \(R'_p \neq 0 \Leftrightarrow Spec\, R'_p \neq \emptyset  \). Linke Aussage sollte man zeigen und ich habe rechts schon angenommen...

Und vielen Dank für dein Beispiel TomTom, das hat mir sehr geholfen.






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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-15


Allgemeiner ist für einen ganzen Ringhomomorphismus $\varphi : R \to R'$ das Bild der Abbildung $\mathrm{Spec}(\varphi) : \mathrm{Spec}(R') \to \mathrm{Spec}(R)$ gleich $V(\ker(\phi))$.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Cool! Das wusste ich nicht.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ein Beweis dafür (zurückführen auf den Spezialfall injektiver ganer Erweiterungen):
Man faktorisiert über \(R/ker(\varphi)\) und erhält zwei ganze Ringerweiterungen, wobei obige injektiv ist. Da \(Spec(\varphi)\) ein kontravarianter Funktor ist und das Bild von \(Spec(\overline{\varphi}): Spec(R/I) \to Spec(R)\) gerade \(Z(I)\) ist, folgt das Gewünschte mittels \(I=ker(\varphi)\).



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