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Universität/Hochschule Orthogonales Komplement
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-15


Hallo,
hab folgende Aufgabenstellung:

Sei V ein endlich erzeugter euklidischer Vektorraum, dim V = n. Sei \( U \subset V \) ein Untervektorraum. Zeigen Sie \( U \cap U^{\perp} = \{ 0 \} \). Beschreiben Sie, wie \( dim U \) und \( dim U^{\perp} \) zusammenhängen.

Wir haben folgende Definition zum orhtogonalen Komplement:
\( A^{\perp} = \{ y \in V \mid A \perp \{ y \} \} \)

\(
" \subset ": \\
x \in U \cap U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in \{ x \in V \mid \forall x \in U:  \langle x,x \rangle = 0 \}
\)
Das gilt nun aufgrund der positiven Definitheit des Skalarprodukts nur für x = 0
\( \Rightarrow x \in \{ 0 \} \)

\( " \supset " \):
Hier weiß ich leider nicht weiter.

Da \( U \) und \( U^{\perp} \) komplementär sind, muss gelten:
\( dim(V) = dim(U) + dim(U^{\perp}) \)

Ist das soweit richtig? Wie funktioniert die eine Richtung?

Viele Grüße
kuckuck3



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

2019-09-15 11:41 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
\(\Rightarrow x \in U \wedge x \in \{ x \in V \mid \forall x \in U:  \langle x,x \rangle = 0 \}
\)
an dieser Stelle hast du drei verschiedene Variablen mit $x$ bezeichnet. Denke nochmal über diese Stelle nach.



\( " \supset " \):
Hier weiß ich leider nicht weiter.
Diese Inklusion ist trivial. Beachte, dass $U\cap U^\perp$ der Schnitt zweier Untervektorräume und somit selbst ein Untervektorraum ist.


Da \( U \) und \( U^{\perp} \) komplementär sind, muss gelten:
\( dim(V) = dim(U) + dim(U^{\perp}) \)
Um zu zeigen, dass $U$ und $U^\perp$ komplementär sind, musst du auch noch zeigen, dass $U+U^\perp = V$ gilt.

 
\(\endgroup\)


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kuckuck3
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Mitteilungen: 85
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Ist es so besser?

\(
" \subset ": \\
x \in U \cap U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in \{ s \in V \mid \forall x \in U:  \langle x,s \rangle = 0 \} \)
Das gilt nun aufgrund der positiven Definitheit des Skalarprodukts nur für x = 0
\( \Rightarrow x \in \{ 0 \} \)

Oder so? Ich bin verwirrt.
\(
" \subset ": \\
x \in U \cap U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in U^{\perp} \\
\Rightarrow x \in U \wedge x \in \{ s \in V \mid \forall r \in U:  \langle r,s \rangle = 0 \} \)
Das gilt nun aufgrund der positiven Definitheit des Skalarprodukts nur für x = 0
\( \Rightarrow x \in \{ 0 \} \)


Ich glaube wir haben bereits in der Vorlesung aufgeschrieben, dass \( U \) und \( U^{\perp} \) komplementär sind, trotzdem würde ich es gern noch beweisen. Hab aber keine Ahnung wie 😵



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-15


Oder so?
Ist besser.

Ich glaube wir haben bereits in der Vorlesung aufgeschrieben, dass \( U \) und \( U^{\perp} \) komplementär sind, trotzdem würde ich es gern noch beweisen. Hab aber keine Ahnung wie :-?
Ein einfacher Weg wäre: Für ein $v\in V$ wähle $u\in U$, s.d. $||u-v||^2 =<u-v,u-v>^2$ minimal wird. Dann sollte sich $<u-v,u>=0$ nachrechnen lassen (Bin mir nicht ganz sicher). Eine andere Variante wäre Basisergänzung mit Gram-Schmidt.



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Morpheus1711
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-25


Hallo,
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Lieben Gruß,

Morpheus1711



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