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Mathematik » Stochastik und Statistik » Ist dieses Spiel nur Glück oder gibt es eine optimale Strategie?
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Kein bestimmter Bereich Ist dieses Spiel nur Glück oder gibt es eine optimale Strategie?
Yor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.09.2009
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-15


Zwei Spieler haben 100 Münzen. Wer zuerst 100 Punkte hat hat gewonnen.
In jeder Runde setzt jeder Spieler eine geheime Anzahl von Münzen.
Danach werden beide Einsätze aufgedeckt. Gewonnen hat:
Der kleinere Einsatz, es sei denn der Andere ist nur 15 oder weniger höher.
Nach der Runde bekommt der Gewinner Punkte:
Falls sein Einsatz 15 oder weniger Münzen höher war bekommt er die Differenz der Einsätze als Punkte. Hat der Verlierer mehr als 15 Münzen mehr gesetzt bekommt der Gewinner (mit dem kleineren Einsatz) seinen vollen Einsatz als Punkte.
Nach der Runde kommen die eingesetzten Münzen aus dem Spiel und jeder Spieler erhält 20 neue Münzen. Ein Spieler kann maximal 100 Münzen haben.
(Man darf maximal 15 Münzen mehr setzen als der Gegner insgesammt hat)


Beispiele:
Runde 1:
Spieler 1: setzt 30 von 100 Münzen
Spieler 2: setzt 10 von 100 Münzen
-> Spieler 2 gewinnt 10 Punkte
Runde 2 (+20 Münzen):
Spieler 1: setzt 50 von 90 Münzen
Spieler 2: setzt 65 von 100 Münzen
-> Spieler 2 gewinnt 15 Punkte
Runde 3:
Spieler 1: setzt 30 von 60 Münzen
Spieler 2: setzt 30 von 55 Münzen
-> Unentschieden
Runde 4:
Spieler 1: setzt 20 von 50 Münzen
Spieler 2: setzt 45 von 45 Münzen
-> Spieler 1 gewinnt 20 Punkte
usw. bis ein Spieler 100 oder mehr Punkte hat

-------------

Ist es Zufall wer gewinnt? Oder gibt es eine optimale Strategie? (mit der man am häufigsten gewinnt)
Wie geht man zum Lösen solcher Probleme vor?

Man könnte es ja auf eine Tabelle reduzieren: Meine Münzen, Seine Münzen, =Mein Einsatz. Oder da statt eines festen Wertes eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des eigenen Einsatzes.


(Das Spiel hat noch ein paar mehr Regeln, die haben aber denke ich keinen Einfluss, ob es zufällig ist oder ob es eine optimale Strategie gibt)



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5172
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-15


Hallo Yor,

da es kein Glücksspiel ist, gibt es mit Sicherheit eine Strategie. Allerdings weiß ich nicht, wie die aussieht frown

Wann ist denn das Spiel beendet?

Geht es darum, so viele Punkte wie möglich zu erlangen, oder geht es darum, zum Schluss mehr Punkte als der andere Spieler zu haben?
Edit: Jetzt habe ich es gesehen



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6049
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-15


Jedes einzelne Spiel ist im wesentlichen ein sogenanntes Matrixspiel (siehe z.B. hier).

Typischerweise ist die "optimale" Strategie keine reine Strategie, sondern eine gemischte. Das heißt, man spielt bestimmte Züge mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit.

Was das Ganze ziemlich kompliziert macht sind vier weitere Parameter (die Zahl der Münzen beider Spieler und die Punktestände). Nichtsdestotrotz kann man prinzipiell iterativ alle optimalen Züge bestimmen, da die Gesamtpunktezahl mit jedem Spiel zunimmt(*).
Das Ergebnis ist halt etwas unübersichtlich, weil es aus einigen hundert Millionen einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen besteht.

Bemerkung: Die "Auszahlungsmatrix" beinhaltet nicht die erlangten Punkte, sondern die Wahrscheinlichkeit für den Gesamtsieg. Daher hängt sie vom aktuellen Punktstand und der Zahl der vorhanden Münzen ab.

(*) Ok, es ist möglich, dass beide Spieler gleichviel setzen. Vermutlich sind die Einsätze dann weg und keiner bekommt Punkte. Das wird dann technisch noch etwas haariger, weil Spiele dadurch unendlich lange gehen können. Das sollte man aber im Prinzip in den Griff bekommen.


EDIT: Da das Spiel symmetrisch ist, haben beide Spieler natürlich die gleichen Siegchancen. So gesehen _ist_ es ein Glücksspiel.
Aber gegen einen nicht optimal spielenden Gegner kann man seine Chancen natürlich verbessern.



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Yor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 29.09.2009
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-15


Danke für die Antworten,
da war ich mit meiner Tabelle gar nicht mal so schlecht.
Aber soweit verstanden im verlinkten Wiki-Artikel zu Matrixspiel sind die Spielzüge unabhängig vom Gegner und mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Gegeben dies, könnte man die Tabelle mit der Gewinnwahrscheinlichkeit iterativ berechnen. Man startet in einer Konfiguration, die zum Sieg führen kann und berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür. Als nächstes die Konfigurationen, die zu Konfigurationen führen können, in welchen man gewinnen kann. usw.

Im beschriebenen Spiel würde ich aber behaupten, dass die Wahrscheinlichkeiten eines jeden möglichen Zuges nicht gleich sind und ihrerseits wieder von der Wahrscheinlichkeit eines Zuges des Gegners abhängen.
Z.B.: Beide Spieler haben 99 Punkte und 30 Münzen.
(0 bis 30 Münzen setzbar -> 31 Möglichkeiten, 31^2 Wahrscheinlichkeiten)
Spieler 1 setzt eine Münze. Wie wäre seine Gewinnchance?
Spieler 1 gewinnt falls Spieler 2: 0 oder 17..30 Münzen setzt
Falls Zugwahrscheinlichkeit für jeden Zug gleich: --> Gewinnchance = 15/31
Jedoch würde Spieler 2 niemals 0 Münzen setzen, da er da keine Chance hat zu gewinnen. Dann wären es nur noch 14/31.

Wenn man nun aber die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 2 berechnen möchte, falls er 16 Münzen setzt sind die Wahrscheinlichkeiten eines jeden Zuges auch nicht mehr gleich. Er würde ja gewinnen falls Spieler 1
0,1,...15 Münzen setzt. Die Setztwahrscheinlichkeit von einer Münze von Spieler 1 wäre dann aber 14/31 / (summe aller Gewinnchancen möglicher Züge). Hat man dann die Gewinnwahrschienlichkeit von 16 Münzen setzen von Spieler 2 berechnet stimmt die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spiler 1 mit einer Münzen setzen nicht mehr.

Oder war das mit iterativ bestimmen gemeint? Man startet mit gleichverteilter Setzwahrscheinlichkeit und wiederholt dies, solange bis es zu einem Wert konvergiert.






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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6049
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-15


Nein die Wahrscheinlichkeiten der Züge sind im Allgemeinen nicht gleich und es gibt meist auch Züge, die überhaupt nicht gespielt werden.
Um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen ist ein lineares Optimierungsproblem zu lösen.
Bei einer Matrix mit 31 Zeilen und Spalten löst man das auch eher nicht von Hand.

Es empfiehlt sich, das Prinzip erstmal an kleineren und einfacheren Beispielen zu studieren. Beim konkreten Problem müsste man ja bspw. immer mit dazusagen, wer gerade wie viele Punkte hat.
Es ergeben sich wahrscheinlich andere Strategien, wenn mir nur noch ein Punkt zum Sieg fehlt, während der Gegner 20 Punkte entfernt ist, als im umgekehrten Fall.



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