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Strukturen und Algebra » Ringe » Äquivalenzklassen
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Universität/Hochschule Äquivalenzklassen
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-16


Hallo,
hab folgende Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie:
\( ([3]) = ([15]) \) in \( \mathbb{Z}/(18) \)

Ich hätte gesagt es ist falsch, da
[21]=[3] ist (da 21:18 = 1 R 3)
aber
\( [21] \neq [15] \)

Wäre das ein passendes Gegenbeispiel oder hat sich da bei mir ein Denkfehler eingeschlichen?

Viele Grüße
kuckuck3



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-16


Hallo,

das kommt ein wenig darauf an, was mit dem Gleichheitszeichen gemeint ist. So wie es geschrieben ist, geht es um den Vergleich von Restklassen und da hast du natürlich Recht.

EDIT: nein, es kommt vor allem darauf an, was mit den runden Klammern gemeint ist. Siehe dazu Beitrag #3 von Creasy.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von Diophant]



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Danke erstmal für die Antwort. Ich würde das eben genauso sehen, in der Übung haben wir allerdings folgendermaßen argumentiert:

\( [15] = [-3] = -[3] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \)
und \( (-x) = (x) \) für \( x \in R \)

Das verwirrt mich nun ein wenig, denn das heißt ja dann das die Aussage richtig sein muss oder?

Viele Grüße
kuckuck3



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-16


Hallo,

mit den runden Klammern ist das Ideal, was von diesem Element erzeugt wird, gemeint.
Hier geht es also darum, dass die beiden Ideale $([15])$ und $([3])$ gleich sind. Und da $-1\in \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ ist $([15])= (-[15])$.

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-16


@Creasy:
2019-09-16 11:48 - Creasy in Beitrag No. 3 schreibt:
mit den runden Klammern ist das Ideal, was von diesem Element erzeugt wird, gemeint...

ah, ok, das wusste ich nicht. So macht das dann natürlich Sinn. Vielen Dank!


Gruß, Diophant



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Ja es handelt sich hierbei um das Ideal, ich verstehe es aber trotzdem noch nicht.

Es ist doch
\( ([3]) = \{ ...,[-6],[-3],[0],[3],[6],... \} \) und
\( ([15]) = \{ ...,[-30],[-15],[0],[15],[30],... \} \)

Wie kann das nun das gleiche sein?
Sorry ich steh grad aufn Schlauch  ☹️

Viele Grüße
kuckuck3



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

beachte hier unbedingt, dass \((15)\) und \(([15])\) nicht die gleichen Ideale sind (sie gehören ja schon zu unterschiedlichen Strukturen!).

Im ersten Fall wird das Ideal im Ring \((\IZ,+,\cdot)\) durch die \(15\) erzeugt. Im zweiten Fall betrachtest du ja eben den Restklassenring \(\IZ/18\IZ\). Und das Ideal wird hier natürlich durch die Restklasse \([15]\) erzeugt.

Rechne doch mal aus: \(2\cdot[15],\ 3\cdot[15],\ \dotsc\)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Ich glaub ich habs verstanden:

\( [15]=[15] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 2*[15]=[30]=[12] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 3*[15]=[45]=[9] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 4*[15]=[60]=[6] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 5*[15]=[75]=[3] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 6*[15]=[90]=[0] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),

Und somit hab ich auch wieder alle Restklassen wie bei \( ([3]) \)

Mir ist klar, dass das nicht der Beweis dafür ist, aber vom Verständnis bin ich nun richtig oder?

Viele Grüße
kuckuck3



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


Ich hab noch eine ähnliche Aufgabe, bei der ich wieder Probleme hab:

Sei \( a \in \{ 1,2,...,1000 \} \) mit \( [a] = [3] \) in \( \mathbb{Z}/(7) \)

Bestimmen Sie a (mit Begründung, dass es nur eine Möglichkeit gibt)

Ich denke a ist 4 aber ich bin nicht sicher und kann es schon gar nicht beweisen.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-09-16


Ist das die Originalaufgabe?

$a=3$ und $a=10$ erfüllen zum Beispiel das Gewünschte, denn $[3]=[3]$ und $[10]=[3]$ in $\mathbb{Z}/(7)$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo nochmals,

2019-09-16 13:16 - kuckuck3 in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich glaub ich habs verstanden:

\( [15]=[15] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 2*[15]=[30]=[12] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 3*[15]=[45]=[9] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 4*[15]=[60]=[6] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 5*[15]=[75]=[3] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),
\( 6*[15]=[90]=[0] \) in \( \mathbb{Z}/(18) \),

Und somit hab ich auch wieder alle Restklassen wie bei \( ([3]) \)

Mir ist klar, dass das nicht der Beweis dafür ist, aber vom Verständnis bin ich nun richtig oder?

Ja, und ein Beweis ist das schon oben. Nur, dass man es kürzer haben kann, was ja schon gezeigt wurde.  😄


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-16


2019-09-16 14:02 - Creasy in Beitrag No. 9 schreibt:
Ist das die Originalaufgabe?

$a=3$ und $a=10$ erfüllen zum Beispiel das Gewünschte, denn $[3]=[3]$ und $[10]=[3]$ in $\mathbb{Z}/(7)$.

Ja es ist die Originalaufgabe, allerdings "nur" ein inoffizielles Übungsblatt.

Ich dachte zuerst auch, dass es 10 ist aber dann könnte ich ja genau so gut 17 oder 24 nehmen und somit wäre a nicht eindeutig. Also kann das ja nicht sein, denke ich.

Viele Grüße
kuckuck3



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-09-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

für mich ist hier fast durchgehend ein Problem die Notation (das liegt aber eher an mir, da ich da nicht auf dem neuesten Stand bin).

Wenn aber \(\IZ/(7)\) der Restklassenkörper von \(\IZ\) modulo 7 ist (bzw. eben \(\IZ/7\IZ\)), dann sollte die Lösung tatsächlich \(a=3\) sein, da der betreffende Körper aus der Menge \(\lbrace0,1,2,3,4,5,6\rbrace\), versehen mit der Restklassenaddition und -multiplikation besteht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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