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Strukturen und Algebra » Polynome » Polynomfunktion = 0 für unendlich viele Werte => Polynom=0
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Universität/Hochschule J Polynomfunktion = 0 für unendlich viele Werte => Polynom=0
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-17


Hi,
dieses mal eine technische Frage, die ich bisher nirgends bewiesen gesehen habe, sondern immer nur Behauptungen gesehen habe, dass sie richtig sei. Selbst meine Tutorin hat es bei einer Lösung behauptet und als ich Sie danach gefragt habe, konnte sie es nicht beweisen...
Es geht hierum:
Sei K ein unendlicher Körper und p\(\in K[X_1,...,X_n]\), wobei \(p(k_1,...,k_n)=0 \,\, \forall k_i\in K\), dann folgt \(p=0\), d.h. alle Koeffizienten von \(p\) sind 0.
Oder allgemeiner:
Sei R ein unendlicher Integritätsring und p\(\in R[X_1,...,X_n]\), wobei \(p(r_1,...,r_n)=0 \, \forall r_i\in R\), dann folgt \(p=0\).

Das würde ich gerne formal beweisen und fragen, ob mein Beweis rigoros genug ist. Jedoch müssen wir die Aussage verallgemeinern, um einen Induktionsbeweis vollbringen zu können: Es gibt unendlich viele Tupel \((r_1,...,r_n)\) die \(p\) annullieren, wobei in jeder Koordinate unendlich viele verschiedene Elemente vorkommen. Sei \(M\) diese Verschwindungsmenge.

Nun zum Beweis:
Uns ist bekannt, dass die Gradformel in \(R[X]\) gilt und ein Polynom n-ten Grades maximal n verschiedene Nullstellen hat (das gilt allgemein, unabhängig davon ob \(R\) unendlich oder nicht).
Unsere Behauptung oben zeigen wir nun durch Induktion:
n=0 trivial.
n=1: Hier folgt dies sofort aus unserer obigen Feststellung und R unendlich (falls \(p\neq 0\), so hat \(p\) maximal \(deg(p)<\infty\) Nullstellen, was nicht geht, da \(|M|=\infty\)).
Sei die Behauptung nun für n richtig, wir folgern sie auch für n+1.
Definiere \(R':=R[X_1,...,X_n]\). Betrachte nun \(p\in R'[X_{n+1}]\).
Induktiv zeigt man, dass \(R'\) ein Integritätsring ist. Für die Unbestimmte \(X_{n+1}\) haben wir unendlich verschieden viele Elemente \(r_{n+1}\in R\subset R'\) in der Verschwindungsmenge \(M\) als \(n+1-te\) Koordinate. Wir zeigen nun, dass solch ein \(r_{n+1}\) unser \(p\in R'[X_{n+1}]\) annulliert, d.h. \(p(r_{n+1}) = 0\). Dies ist ein Polynom in \(R[X_1,...,X_n]\), wobei die Verschwindungsmenge hier \(M|_n\) enthält, was gerade \(M\) ohne den letzten Eintrag der \((n+1)-Tupel\) ist. Nach Annahme hat \(M|_n\) immer noch unendlich viele verschiedene Einträge in allen Koordianten und mit Induktionsvoraussetung folgt, dass \(p(r_{n+1}) = 0\).
D.h. gerade, dass die Koeffizienten von \(X_{n+1}\) alle \(0\) sind. Auf diese Koeffizienten kann man nun wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass die Koeffizienten von \(p\in R[X_1,...,X_{n+1}]\) alle schon 0 waren. \(\square\)


Der Beitrag wurde länger als ich dachte, da ich viele Stellen formal fixen musste...
Falls jemand von euch einen einfacheren/schöneren/... Beweis hat, nur her damit.
Danke, dass du es bis hier her geschafft hast mit dem Lesen  😁

Red_



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-17


2019-09-17 21:00 - Red_ im Themenstart schreibt:
Hi,
dieses mal eine technische Frage, die ich bisher nirgends bewiesen gesehen habe, sondern immer nur Behauptungen gesehen habe, dass sie richtig sei. Selbst meine Tutorin hat es bei einer Lösung behauptet und als ich Sie danach gefragt habe, konnte sie es nicht beweisen...
 
Das ändert nichts daran, dass es eine Standardaussage ist, die auch in diesem Forum mindestens 10 mal bewiesen worden ist. :)

Jedoch müssen wir die Aussage verallgemeinern, um einen Induktionsbeweis vollbringen zu können: Es gibt unendlich viele Tupel \((r_1,...,r_n)\) die \(p\) annullieren, wobei in jeder Koordinate unendlich viele verschiedene Elemente vorkommen. Sei \(M\) diese Verschwindungsmenge.

Vermutlich meinst du folgendes? Sei $M$ die Verschwindungsmenge. Dann ist die Annahme, dass $\mathrm{pr}_i(M) \subseteq R$ für jedes $i=1,\dotsc,n$ unendlich ist.
 
Ok. Du hast aber im Fall $n=1$ lediglich den Spezialfall betrachtet:

n=1: Hier folgt dies sofort aus unserer obigen Feststellung und R unendlich (falls \(p\neq 0\), so hat \(p\) maximal \(deg(p)<\infty\) Nullstellen, was nicht geht, da \(|M|=\infty\)).

Weiter:

Sei die Behauptung nun für n richtig, wir folgern sie auch für n+1.
Definiere \(R':=R[X_1,...,X_n]\). Betrachte nun \(p\in R'[X_{n+1}]\).
Induktiv zeigt man, dass \(R'\) ein Integritätsring ist. Für die Unbestimmte \(X_{n+1}\) haben wir unendlich verschieden viele Elemente \(r_{n+1}\in R\subset R'\) in der Verschwindungsmenge \(M\) als \(n+1-te\) Koordinate. Wir zeigen nun, dass solch ein \(r_{n+1}\) unser \(p\in R'[X_{n+1}]\) annulliert, d.h. \(p(r_{n+1}) = 0\). Dies ist ein Polynom in \(R[X_1,...,X_n]\), wobei die Verschwindungsmenge hier \(M|_n\) enthält, was gerade \(M\) ohne den letzten Eintrag der \((n+1)-Tupel\) ist.
 
Diese Beschreibung suggeriert, dass $M|_n = \mathrm{pr}_{1,\dotsc,n}(M)$ ist, wobei die Projektion durch $\mathrm{pr}_{1,\dotsc,n} : R^{n+1} \to R^n, (x_1,\dotsc,x_{n+1}) \to (x_1,\dotsc,x_n)$ gegeben ist. Dann ist deine Aussage aber nicht richtig.

Damit die Aussage stimmt, muss man $M|_n$ definieren als $\{(r_1,\dotsc,r_n) \in R^n : (r_1,\dotsc,r_n,r_{n+1}) \in M\}$.

Nach Annahme hat \(M|_n\) immer noch unendlich viele verschiedene Einträge in allen Koordianten

Das ist jetzt aus der genaueren Beschreibung von $M|_n$ nicht mehr ersichtlich. Und spontan weiß ich nicht, wie man das retten sollte.

Entweder man fordert in der Induktionsbeh. sogar, dass $p$ fast überall verschwindet (also überall bis auf endlich viele Ausnahmen). Oder man fordert in der Induktionsbeh., dass für jedes $i=1,\dotsc,n$ und alle $r_{i+1},\dotsc,r_n \in R$ die Menge $\{(r_1,\dotsc,r_i) \in R^i: p(r_1,\dotsc,r_i,r_{i+1},\dotsc,r_n) = 0 \}$ unendlich ist (grobe Idee, bitte prüfen).



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-17


Hallo Red_,

Ich würde eine leicht andere Aussage beweisen. Jedes von Null verschiede Polynom hat an unendlich vielen Stellen einen von Null verschiedene Wert.

Für die Induktions würde ich wie folgt vorgehen. Sei $\overline K$ der alg. Abschluß des Quotientienkörpers von $R[X_1,\ldots,X_n]$. Dann zerfällt $p\in R[X_1,\ldots,X_{n+1}]$ im Polynomring $L[X_{n+1}]$ vollständig in Linearfaktoren $\prod (X_{n+1}-\lambda_l)$. Falls eins der $\lambda_l$ Null ist, ersetze $p(X_{n+1})$ durch $p(X_{n+1}-r)$ mit $r\in R$ geeignet. Für $\lambda=\prod \lambda_l\in L\neq 0$ wählen wir eine Normalehülle* für $\lambda \in L$ und das Produkt über alle Automorphismen ergibt dann ein Element $\mu\in K=Quot(R[X_1,\ldots,X_n])$. Dann gibt es nach Induktionsvorraussetzung unendlich viele Tupel $(k_1,\ldots,k_n)$, s.d. $\mu(k_1,\ldots,k_n)\neq 0$ und somit $\lambda_k(k_1,\ldots,k_n)\neq$. Daraus folgt $p(k_1,\ldots,k_n,0)\neq 0$.

* Im Fall $char(R) = p$ muß man wegen rein inseparabler Körpererweiterungen etwas aufpassen - glaube ich.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-17


Der Beweis ist doch gar nicht so schwer.

Sei $R$ unendlicher Integritätsring. Sei $p \in R[X_1,\dotsc,X_n]$ mit $p(r)=0$ für alle $r \in R^n$. Wir zeigen $p=0$.

Im Induktionsschritt sei $n \geq 1$. Für festes $r_n \in R$ betrachte $p(X_1,\dotsc,X_{n-1},r_n) \in R[X_1,\dotsc,X_{n-1}] =: R'$. Für alle $(r_1,\dotsc,r_{n-1}) \in R^{n-1}$ gilt $p(r_1,\dotsc,r_n)=0$. Aus der Induktionsannahme folgt daher $ p(X_1,\dotsc,X_{n-1},r_n)=0$. Das Polynom $p \in R'[X_n]$ einer Variablen verschwindet also überall. Weil $R'$ unendlicher Integritätsring ist, folgt $p=0$.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-18


2019-09-17 23:31 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Vermutlich meinst du folgendes? Sei $M$ die Verschwindungsmenge. Dann ist die Annahme, dass $\mathrm{pr}_i(M) \subseteq R$ für jedes $i=1,\dotsc,n$ unendlich ist.

Das reicht übrigens nicht, um $p=0$ zu folgern. Betrachte $X^2+Y^2 - 1 \in \IR[X,Y]$. Der Kreis hat ja unendlich viele $x$- und $y$-Koordinaten.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Hallo,
ja da hast du Recht Triceratops, da war doch eine Lücke, die dem Gedankenfehler entsprungen ist, dass unendlich viele Nullstellen => p=0. Dein Beispiel ist gut und der Beweis wenn p für alle R annulliert wird auch, danke.

@TomTom Das wäre vielleicht ein bisschen zu kompliziert für so eine einfache Aussage  😁

Red_



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