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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Komplexe Zahlen » |z|/|w|=|z/w|
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Universität/Hochschule |z|/|w|=|z/w|
HelLeon
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.09.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-18


Wie kann man für komplexe Zahlen $z, w \in \mathbb{C}$ zeigen, dass $|\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}$?

Wenn ich das nachrechne, sehe ich dass das gilt. Aber ich frage mich wie das allgemein gezeigt wird



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3860
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-18


Für $a \in \IC$ gilt $|a|^2 = a \cdot \overline{a}$. Daraus kann man leicht die Multiplikativität $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ für $a,b \in \IC$ ableiten, und daraus wiederum die gewünschte Eigenschaft.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1903
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich würde es mit der Exponentialform und den Potenzgesetzen machen. Dabei kann man \(\left|e^{a+ib}\right|=e^a\) ausnutzen.

Wobei wie ich gerade sehe: der Tipp bzw. Ansatz von Triceratops in #1 ist wesentlich eleganter.  smile

Und das ganze funktioniert natürlich nur für \(w\neq 0\).


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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HelLeon
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.09.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-18


Also $\frac{|e^{a+ib}|}{|e^{x+ib}|}=\frac{|e^{a}|}{|e^{x}|}=|e^{a-x}|$, wobei das letzte Gleichheitszeichen dann aus den Potenzgestzen folgt und weil die e-Funktion ja sowieso nur Werte größer null annimmt.

Ist das richtig so?

Und die elegantere Version erkenne ich leider nicht...



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HyperPlot
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 352
Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-09-18 18:06 - HelLeon im Themenstart schreibt:
Wie kann man für komplexe Zahlen $z, w \in \mathbb{C}$ zeigen, dass $|\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}$?

Zeige zunächst $
\left| \dfrac{1}{w} \right|
 = \dfrac{|w^*|}{|w|^2}
$,   mit $\dfrac{1}{w} = \dfrac{w^*}{|w|^2}$;   und damit $
\left| \dfrac{z}{w} \right|
= \dots
=\dfrac{|z|}{|w|}.$
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1903
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

meine Variante:

\[\ba
z&=e^{a+ib},\ w=e^{c+id}\\
\\
\left|\frac{z}{w}\right|&=\left|\frac{e^{a+ib}}{e^{c+id}}\right|\\
\\
&=\left|e^{a-c+i(b-d)}\right|\\
\\
&=e^{a-c}\\
\\
&=\frac{e^a}{e^c}\\
\\
&=\frac{|z|}{|w|}
\ea\]
Aber wie gesagt: probiere mal die Variante von Triceratops auch noch aus.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-18

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-09-18 18:36 - HyperPlot in Beitrag No. 4 schreibt:
...
Durch die Brust ins Auge. Wenn man das nachrechnet, kann man gleich die eigentliche Gleichung ausrechnen.

Nun zur eleganten Lösung. Statt $|\frac{z}{w}|=\frac{|z|}{|w|}$ könne wir auch $|\frac{z}{w}|^2=\frac{|z|^2}{|w|^2}$ nachrechnen, da beide Seiten der Gleichung positiv sind. Mit Triceratops Hinweis sind es nur ein paar Zeilen bis zur Lösung.
\(\endgroup\)


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