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Integration » Integration im IR^n » Volumen des n-dimensionalen Paraboloids mit n-fach iteriertem Integral
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Universität/Hochschule Volumen des n-dimensionalen Paraboloids mit n-fach iteriertem Integral
dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-18


Hallo,

ich würde zunächst gerne das Volumen des dreidimensionalen Paraboloids ausrechnen, dass durch fed-Code einblenden und fed-Code einblenden beschränkt ist. Dazu kann man ja zunächst ein beliebiges aber festes z wählen und erhält als Menge aller Punkte (x,y), so dass (x,y,z) in unserer Menge liegen, gerade den Ursprungskreis mit Radius sqrt(z). Für den gilt mit fed-Code einblenden und anschließendes Integrieren nach z von 0 bis h liefert die Formel fed-Code einblenden . Ist das so richtig und wenn ja, lässt sich dann dieser ganze Prozess ähnlich wie bei der n-dimensionalen Kugel induktiv fortsetzen? Also dass man nun fed-Code einblenden betrachtet und so umstellt, dass man die erste Formel wieder verwenden kann? Das ist mir auf den ersten Blick nicht ganz klar. Lässt sich das vielleicht auch mit dem Transformationssatz leichter machen? Da Kreisscheiben vorkommen, spricht dass ja schonmal für Polarkoordinaten, nur die genaue Transformation weiß ich nicht.

Liebe Grüße
Dome



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-18


Ähm, das ist ein Kegel!

Das ist so ungefähr das Integral für den ersten Fall: $V=\int_{0}^h(\int_{x^2+y^2\leq z}1dxdy)dz$. Das innere Integral kannst Du mit Polarkoordinaten ausrechnen (abhängig von z) und dann über z integrieren. Für den zweiten Fall nimmst Du stattdessen Kugelkoordinaten, da $x^2+y^2+z^2\leq t$ gerade eine Kugel beschreibt.



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dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19


Ist nicht z^2 = x^2 + y^2 ein Kegel?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-19


Ja, erwischt. Du hast recht. Wobei die Bastelanleitung für das Integral auch für ein Paraboloid funktionieren sollte. Also für $x^2 + y^2 + z^2 = t$ würde ich Kugelkoordinaten nehmen (hoffentlich richtig).



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-19 15:24


Hallo
 ja es lässt sich induktiv fortsetzen, wenn du statt des Kreisvolumens das der (n-1 ) dimensionalen Kugel über z bzw t integrierst.
Gruß lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19 15:40


Ah, ich verstehe. Danke schön. Ist denn die von mir hergeleitete Formel richtig oder habe ich einen Fehler beim setzen der Grenzen gemacht?

Liebe Grüße
Dome



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