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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Transzendenzgrad und algebraische Unabhängigkeit?
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Universität/Hochschule J Transzendenzgrad und algebraische Unabhängigkeit?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-18


Hallo,

seien $a_1,...,a_n\in\mathbb{C}$.

Der Erweiterungskörper $K/\mathbb{Q}=\mathbb{Q}(a_1,...,a_n)$ habe über $\mathbb{Q}$ den Transzendenzgrad $trdeg_{K/\mathbb{Q}}=t$ ($0\leq t\leq n$).

Für welche $t$ existiert kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom $P(a_1,...,a_n)\in\overline{\mathbb{Q}}[a_1,...,a_n]$ mit $P(a_1,...,a_n)=0$?

Könnt Ihr mir bitte helfen?

Ich weiß bereits, dass der Transzendenzgrad $trdeg_{K/\mathbb{Q}}$ die maximale Anzahl der über $\mathbb{Q}$ algebraisch unabhängigen Elemente der Menge $\{a_1,...,a_n\}$ bezeichnet.

(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen, vielen Dank.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-18


Du meinst $P(X_1,\dotsc,X_n) \in \overline{\IQ}[X_1,\dotsc,X_n]$, und die Frage ist, für welche $t$ stets die Implikation $P(a_1,\dotsc,a_n) = 0 \Longrightarrow P(X_1,\dotsc,X_n)=0$ gilt, also die $a_1,\dotsc,a_n$ algebraisch unabhängig über $\overline{\IQ}$ sind. Die Antwort ist $t=n$:
 
Betrachte das Diagramm von Körpern und Inklusionen

$\require{xypic}\xymatrix@C=0em{ & \stackrel{\Large\IQ}{~} \ar@{^{(}->}[dr]^{\text{alg.}} \ar@{_{(}->}[dl] \ar@{^{(}->}[dd] & \\ \IQ(a_1,\dotsc,a_n) \ar@{_{(}->}[dr]_{\text{alg.}} && \overline{\IQ} \ar@{^{(}->}[dl] \\ & \overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n). & }$

Der linke Teil zeigt
 
$\mathrm{tr.deg}_{\IQ}(\overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n)) = \mathrm{tr.deg}_{\IQ}(\IQ(a_1,\dotsc,a_n)),$

der rechte Teil zeigt

$\mathrm{tr.deg}_{\IQ}(\overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n)) = \mathrm{tr.deg}_{\overline{\IQ}}(\overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n)).$

Zusammen bekommt man

$(1)\quad  \mathrm{tr.deg}_{\IQ}(\IQ(a_1,\dotsc,a_n)) = \mathrm{tr.deg}_{\overline{\IQ}}(\overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n)).$

Die $a_1,\dotsc,a_n$ sind nun genau dann algebraisch unabhängig über $\overline{\IQ}$, wenn $\mathrm{tr.deg}_{\overline{\IQ}}(\overline{\IQ}(a_1,\dotsc,a_n))=n$. Und das bedeutet wegen $(1)$ gerade $t=\mathrm{tr.deg}_{\IQ}(\IQ(a_1,\dotsc,a_n)) = n$, d.h. dass die $a_1,\dotsc,a_n$ algebraisch unabhängig über $\IQ$ sind.

Alternativ kann man die Äquivalenz so einsehen: Die $a_1,\dotsc,a_n$ sind algebraisch unabhängig über $\IQ$ genau dann, wenn der $\IQ$-Homomorphismus

$\IQ[X_1,\dotsc,X_n] \longrightarrow \IC$, $X_i \mapsto a_i$

injektiv ist. Lineare Algebra zeigt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der $\overline{\IQ}$-Homomorphismus

$\IQ[X_1,\dotsc,X_n] \otimes_{\IQ} \overline{\IQ} \longrightarrow \IC \otimes_{\IQ} \overline{\IQ}$, $X_i \otimes 1 \mapsto a_i \otimes 1$

injektiv ist. Dieser identifiziert sich aber mit dem $\overline{\IQ}$-Homomorphismus

$\overline{\IQ}[X_1,\dotsc,X_n] \longrightarrow \IC \otimes_{\IQ} \overline{\IQ}$, $X_i \mapsto a_i \otimes 1$,

welcher wiederum faktorisiert als

$\overline{\IQ}[X_1,\dotsc,X_n] \longrightarrow \IC \longrightarrow \IC \otimes_{\IQ} \overline{\IQ}$,

wobei der erste ist $X_i \mapsto a_i$ und der zweite ohnehin injektiv ist. Also ist die Injektivität gerade die algebraische Unabhängig der $a_1,\dotsc,a_n$ über $\overline{\IQ}$.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19


Oh ja, vielen, vielen Dank.
(Wie so oft hatte ich mir das Ergebnis auch schon überlegt, hatte aber natürlich keinen Beweis und war mir deshalb nicht sicher. Bin eben kein Mathematiker.)

Aus der Vermutung von Schanuel ergibt sich also nicht so ohne Weiteres die Unlösbarkeit von Polynomen in gewissen Körpern.
Vielen, vielen Dank.



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