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Universität/Hochschule J Dimension eines Rings bestimmen
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-19


Hey,
ich habe ein Problem, ich kann die Dimension des Ring \(R:=\mathbb{Z}[X,Y]/(2XY-1)\) nicht bestimmen, obwohl ich weiß, dass sie 1 sein soll. Ich weiß, dass \(R\cong \mathbb{Z}[X]_{2X}\) also die Lokalisierung am Element \(2X\). Also ist \(R\) schon mal ein Integritätsring und somit das Ideal \(p:=(2XY-1)\) ein Primideal. Ich weiß: \(3= dim(\mathbb{Z}[X,Y]) \geq dim(R) + ht(p)\). Aus der Vorlesung ist das aber leider nicht bekannt \(3= dim(\mathbb{Z}[X,Y])\). Durch den Isomorphismus oben kann man leicht zeigen, dass \(dim(R)\geq 1\). Leider gilt glaube ich \(ht(p)=1\), sodass mir die Ungleichung oben nichts bring :S
Bitte um Rat.

Red_



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19


Ich glaube mittlerweile, dass das nicht mal stimmt mit \(dim(R)=1\).
Es gilt \(dim(R)=2\), da:
\( (0) \subsetneq (3) \subsetneq (3,X+1) \) aufsteigende Kette von Primidealen in \(\mathbb{Z}[X]\), welche alle \(2X\) nicht enthalten (leicht nachrechenbar). Also ist diese aufsteigende Kette auch in der Lokalisierung eine aufsteigende Kette von Primidealen, somit \(dim(R)\geq 2\) und \(dim(R)\leq 2\) gilt immer bei Lokalisierungen.

Stimmt doch oder? Meine Musterlösung hat nämlich \(dim(R)=1\) verwendet :S



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-19


Die Aussage "$\dim(R) \leq 2$ gilt immer bei Lokalisierungen" fand ich etwas verwirrend. Gemeint ist: Für Lokalisierungen gilt immer $\dim(A_S) \leq \dim(A)$, also hier $\dim(R) \leq \dim(\IZ[X])=2$.

Dein Beweis von $\dim(R) \geq 2$ ist OK.

Man kann es auch so machen (und nebenbei allgemeiner): Für jeden Hauptidealring $A$, der kein Körper ist, gilt $\dim(A[X]_X)=2$, die Ungleichung $\geq$ folgt hierbei aus der Idealkette $(0) \subseteq (p) \subseteq (p,X-1)$ für irgendein Primelement $p$.

Nun gilt aber $\IZ[X]_{2X} = A[X]_X$ für den Hauptidealring $A = \IZ_2 = \IZ[1/2]$. (Hier meint $\IZ_2$ nicht den Ring der $2$-adischen Zahlen, sondern die Lokalisierung von $\IZ$ nach dem Element $2$.)



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19


Ja, genau. Das wollte ich nicht ganz ausschreiben mit der Lokalisierung ^^
Danke, Triceratops!

Gilt denn auch immer \(dim(A[X] \leq 2\) für Hauptidealringe \(A\)?
Und ich weiß, dass Lokalisierungen von Hauptidealringen wieder Hauptidealringe sind.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-19


Für noethersche kommutative Ringe $A$ gilt immer $\dim(A[X])=\dim(A)+1$. Das erfordert aber etwas Arbeit. Nur $\dim(A[X]) \geq \dim(A)+1$ ist trivial.

Dass für Hauptidealringe $A$, die keine Körper sind, immer $\dim(A[X])=2$ gilt, kann man schneller an der expliziten Beschreibung der Primideale von $A[X]$ ablesen. Siehe



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19


Danke für den Link.



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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