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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Abelscher Grenzwertsatz
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Universität/Hochschule J Abelscher Grenzwertsatz
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-20 19:04


Abelscher Grenzwertsatz(Forster Analysis 1, 11. Auflage):
Sei $\sum \limits_{n=0}^{\infty}c_n$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen.
Dann konvergiert die Potenzreihe $f(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ gleichmäßig auf dem Intervall $[0,1]$, stellt also dort eine stetige Funktion da.

Beweis: (i) Wegen de.wikiversity.org/wiki/Potenzreihe/Konvergenz_in_einem_Punkt/Absolut_gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz_im_Radius/Fakt konvergiert $f_n:=\sum\limits_{k=0}^{n}c_k x^k$ gleichmäßig gegen $f(x)$ im Intervall $[0,1]$, wobei $b=1$ und $a=0$.
Anmerkung: Für $x=b=1$ konvergiert die Reihe nach Voraussetzung.

(ii)Da  alle $f_n$ stetig sind und $f_n$ gleichmäßig im Intervall $[0,1]$ gegen $f(x)$ konvergiert, ist auch $f(x)$ stetig.

de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Konvergenz#Stetigkeit

Fertig! Dachte ich, ABER im Buch wird das anders gesehen, dort wird zwar (i) auf gleiche Art gezeigt, dann wird jedoch noch bewiesen dass der Reihenrest im Intervall $[0,1]$ gleichmäßig gegen Null konvergiert.
Warum ist der (ii)-Teil falsch?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-21 11:52

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Sambucus,

du weißt nur, dass die Reihe glm. in Intervallen der Form \([0,b]\) mit \(b<1\) konvergiert.

Ein Beispiel dafür (auf das der Satz von Abel natürlich nicht zutrifft) ist \(\sum_{n=0}^\infty x^n\).

Wally
\(\endgroup\)


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Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-21 17:03

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2019-09-21 11:52 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Sambucus,

du weißt nur, dass die Reihe glm. in Intervallen der Form \([0,b]\) mit \(b<1\) konvergiert.

Ein Beispiel dafür (auf das der Satz von Abel natürlich nicht zutrifft) ist \(\sum_{n=0}^\infty x^n\).

Wally

Ah, also muss man jetzt zeigen, dass es ein $N\in \mathbb{N}$ gibt,so dass für alle $x\in [0,1], n\geq N$ und bel. $\epsilon >0$ gilt:
$\vert f(x)- f_n(x) \vert < \epsilon $.

Dass man das damit beweisen kann, dass der Reihenrest für alle $x\in [0,1]$ gleichmäßig gegen Null konvergiert, wusste ich nicht.
Das basiert wohl auf dem Cauchy-Kriterium für glm. Konvergenz (kannte ich auch nicht).

Jedenfalls danke :)

\(\endgroup\)


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