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Analysis » Integration » Satz von Green
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Universität/Hochschule Satz von Green
dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-21


Hallo,

in der Vorlesung haben wir uns mit dem Satz von Green beschäftigt und dazu zunächst Gebiete vom Typ 1 und 2 im R^2 betrachtet:

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Liebe Grüße
Dome




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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
hey dome,

ich tue mich etwas schwer mit deiner Definition eines Typ 2 Gebiets: dein <math>B</math> wird über Funktionen <math>h,k : (c,d) \to \mathbb{R}</math> definiert, direkt dahinter redest du aber über <math>u</math> und <math>v</math>, was (um auf <math>B</math> definiert zu sein) Funktionen zweier reeller Variablen sein müssen.

Zur letzten Frage (ich gehe aus obigem Grund nur auf Typ 1 ein):
anschaulich bedeutet diese Definition nur, dass du eine Menge im <math>\R^2</math> hast, die nach rechts und links durch vertikale Geraden und nach oben und unten jeweils durch den Graph einer stetig differenzierbaren Funktion beschränkt ist. Ein schönes Beispiel sind Kreise, in der Notation aus deinem Kommentar wird das erreicht durch <math>(a,b)=(-1,1)</math>, sowie
<math>\displaystyle \psi : (-1,1) \to \R : \sqrt{1-x^2} \quad \text{und}\quad \varphi=-\psi. </math>
Ellipsen gehen dann natürlich analog, deiner Fantasie sind keine Grenzen gesetzt. Ich hoffe, dieses Beispiel bringt Klarheit in die Sache und du kannst dir noch weitere Überlegen.

Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-23


Hallo,

Gebiete vom Typ 2 sind an sich ganz genau wie Gebiete vom Typ 1, nur dass diese nach oben und unten durch vertikale Graden und an den Seiten durch stetig differenzierbare Funktionen begrenzt werden. Wäre es damit theoretisch möglich, aus Gebieten vom Typ 2 durch eine 90-Grad-Drehung Gebiete vom Typ 1 und andersrum zu machen?
Das Ziel bei uns war nun, dass wir uns stetig differenzierbare Funktionen u und v angeschaut haben, und für diese separat auf Gebieten 1 und 2 das zweifach iterierte Integral zu einem Randintegral gemacht haben. Anschließend wurden die einzelnen Formeln zusammengesetzt. Meine Frage war nun, ob die Endformel nur für Gebiete gilt, die sowohl vom Typ 1 als auch 2 sind, oder für alle Gebiete, die vom Typ 1 oder 2 sind.

Liebe Grüße
Dome



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
ah sorry, da hab ich schlicht nicht genau genug gelesen. der Satz von Green gilt für Gebiete <math>B</math>, welche von Typ 1 sind. Weiter gilt er für Gebiete <math>B</math>, die von Typ 2 sind. Es muss also nicht beides vorliegen. Für Gebiete, welche gleichzeitig Typ 1 und Typ 2 sind hast du recht, das sind bloß Rechtecke.
Der Satz von Green gilt auch noch allgemeiner, siehe Wikipedia.

Gruß
\(\endgroup\)


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dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


Inwiefern ist es denn, wenn der Satz tatäschlich für Gebiete vom Typ 1 und 2 gelten soll, gerechtfertigt, dass man dann einfach die beiden Formeln, die man für u und v auf unterschiedlichen Gebieten hergeleitet hat, zusammentut?



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