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Integration » Riemannsche Summen » Rückfrage:Beschränkte Funktion f:[a,b]->R mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen ist Riemann-intbar
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Universität/Hochschule Rückfrage:Beschränkte Funktion f:[a,b]->R mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen ist Riemann-intbar
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-23 14:59


Behauptung:
Eine beschränkte Funktion f:[a,b]->R mit nur endlich vielen Unstetigkeitsstellen  ist Riemann-integrierbar.

Ich habe nach einem Beweis gesucht und bin dann auf folgenden Thread gestoßen: LinkRiemann-integrierbar

Dort wird folgender Beweis angegeben:  

"
Zu zeigen ist: Jede auf [a;b] stückweise stetige Funktion ist integrierbar.

Da die Funktion beschränkt ist und nur endlich viele Unstetigkeitsstellen hat ist sie stückweise stetig. Es seien nun U1,U2,...,Un die Unstetigkeitsstellen. Dann ist die Funkton f über [a;U1] , [ U1;  U2] usw. stetig. Da jede stetige Funktion integrierbar ist, sind die einzelnen Intervalle stückweise integrierbar. Aus der Integraladditivität folgt nun die Behauptung.
                                                                               q.e.d
"

Ich sehe keinen Grund warum f auf den Intervallen [a;U1] , [ U1;  U2] usw.  stetig sein sollte, klar ist, dass f auf den Intervallen [a;U1[ , [ U1;  U2[ usw.  ?
Warum sollte das gelten? Also wieseo soll f bei den Punkten U1,...,Un stetig fortsetzbar sein?

Es handelt sich meiner Meinung nach bspw. bei $\int_{a}^{U1}f(x)dx$ um uneigentliche Integrale.
Man müsste dann begründen, warum bspw. der Grenzwert $ \lim\limits_{\epsilon\searrow 0}\int_{a}^{U1-\epsilon}f(x)dx$ existiert, aber wie?
Was natürlich leicht sein würde, wenn f ind den Punkten U1,...,Un tatsächlich stetig fortsetzbar ist.


PS: Hätte ich die Frage unter den alten Thread posten sollen? Der ist halt schon sehr alt: Aus dem Jahr 2003.



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-23 15:25

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Sambucus,

du hast Recht, dass man tatsächlich aufpassen muss.

Z.B in  \([a,U_1]\) berechnet man problemlos \(\D \int_{a+\varepsilon}^{U_1-\varepsilon} f(t) dt\).

Wenn die Funktion durch \(M\) beschränkt ist, kann man die Zwischensummen in \([a,\varepsilon]\) durch \(M \varepsilon\) abschätzen, es kommt also auf die Wahl der Zwischenpunkte gar nicht mehr an.

Kriegst du daraus einen Beweis zusammen?

Wally
\(\endgroup\)


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Sambucus
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Mitteilungen: 59
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-23 17:28

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Danke für die Antwort :)

Zunächst möchte ich anmerken, dass ich in dem Thema Riemann-Integrale nicht so gut bin, aber ich gebe mein Bestes.


2019-09-23 15:25 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:

Z.B in  \([a,U_1]\) berechnet man problemlos \(\D \int_{a+\varepsilon}^{U_1-\varepsilon} f(t) dt\).


Im Intervall $[a,U1-\epsilon] $ist $f$ ja auch stetig, aber im Intervall $[U1-\epsilon, U1]$ wieder nicht unbedingt....


2019-09-23 15:25 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:


Wenn die Funktion durch \(M\) beschränkt ist, kann man die Zwischensummen in \([a,\varepsilon]\) durch \(M \varepsilon\) abschätzen, es kommt also auf die Wahl der Zwischenpunkte gar nicht mehr an.

Kriegst du daraus einen Beweis zusammen?



Auf die Wahl der Zwischenpunkte kommt es doch bei Riemannschen Zwischensummen sowieso nicht an - dachte ich, siehe:
de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Riemann-Summen


Ich verstehe nicht warum ich die Zwischensummen in\([a,\varepsilon]\) abschätzen sollte?

Versuch es zu tun:
Seien $x_0=a, x_n=\epsilon$ und für alle $x\in [a,b]$ gelte $f(x)\leq M$, dann gilt: $S(f,Z,t_1,...,t_n)=\sum \limits_{k=1}^{n} f(t_k)(x_k-x_{k-1})\leq\sum \limits_{k=1}^{n} M (x_k-x_{k-1})$

-------------------------

Ich finde den Satz aber auch komisch, vlt. verstehe ich ihn falsch, hier meine Gedanken dazu:

Betrachte $g(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x\in [a,U1[\, \cup \, ]U1,b] \\
         17, & x=U1\end{array}\right.$

Diese beschränkte Funktion ist nur in $U1$ unstetig, also gibt es nur endlich viele Unstetigkeitsstellen, nach dem Satz wäre diese dann Riemann-integrierbar.

Aber $g(x)$ lässt sich doch nicht an der Stelle $U1$ stetig fortsetzen, dann ist die Funkton $g$ über [a;U1] also definitv nicht als stetig betrachtbar.  
\(\endgroup\)


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