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Mathematik » Strukturen und Algebra » Zusammenarbeit für Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in geschlossener Form gesucht
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Universität/Hochschule Zusammenarbeit für Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in geschlossener Form gesucht
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-30


Hallo,

elementare Gleichungen und geschlossene Lösungen können u. a. in Mathematik und Naturwissenschaften von Bedeutung sein, z. B. um bestimmte Zusammenhänge zu entdecken und zu beschreiben.

Ich suche einen Mathematiker, der mit mir gemeinsam die in MathOverflow: "Proof of non-solvability of general equations of one unknown in elementary terms (finite terms)?" (mathoverflow.net/questions/342742/proof-of-non-solvability-of-general-equations-of-one-unknown-in-elementary-terms) vorgestellte Vermutung beweist und publiziert.

Es geht um einen mathematischen Satz über die allgemeine Lösbarkeit von Nullstellengleichungen Elementarer Funktionen.

$\mathbb{L}$ bezeichne die Liouvilleschen Zahlen (= Elementare Zahlen). $\mathbb{L}$ ist der kleinste Körper, der $\mathbb{Q}$ enthält und bezüglich algebraischen Operationen, $\exp$ und $\ln$ abgeschlossen ist. Die Elementaren Zahlen unterteilen sich in die Expliziten Elementaren Zahlen $\mathbb{E}$ und die Impliziten Elementaren Zahlen.

Vermutung:  
Let $n\in\mathbb{N}_+$. Let $P$ be a nonzero irreducible polynomial in $2n$ indeterminates that is algebraic over $\overline{\mathbb{Q}}$. Let $E_1,...,E_n$ be elementary functions, $z_0\in\mathbb{C}$, $E_1(z_0),...,E_n(z_0)\neq 0$, and $\{E_1(z_0),...,E_n(z_0)\}$ algebraically independent over $\mathbb{Q}$.
If Schanuel's conjecture is true and $P\left(E_1(z_0),...,E_n(z_0),e^{E_1(z_0)},...,e^{E_n(z_0)}\right)=0$, then  
a) $z_0\notin\mathbb{L}$, b) $z_0\notin\mathbb{E}$.

Es werden nur sehr einfache Grundlagen aus der Algebra gebraucht (z. B. lineare und algebraische Abhängigkeit, Schanuel-Vermutung).

Später kann man diesen Satz und andere auch auf ganz allgemeine Klassen von Funktionen die durch Körper erzeugt werden erweitern.

Lin hat in [Lin 1983] einen Satz für Polynomgleichungen in $z$ und $e^z$ angegeben. Dieser Satz kann sofort auf Polynomgleichungen in $E(z)$ und $e^E(z)$ sowie auf Polynomgleichungen in $z$ und $e^{A(z)}$ erweitert werden, worin $A$ eine algebraische Funktion und $E$ eine elementare Funktion ist.

Timothy Chow hat in [Chow 1999] einen ähnlichen Satz für die Gleichung $x+e^x=0$ durch einen äußerst einfachen Beweis bewiesen. Chows Beweismethode soll auf Polynomgleichungen in $z_1,...,z_n$ und $e^{z_1},...,e^{z_n}$ erweitert werden.

Als Folgerung aus dem dann bewiesenen Satz würden sich dann sofort Sätze für einige größere Klassen von Polynomen ergeben.

Ich komme allerdings aus einem naturwissenschaftlichen Fach ohne Reine Mathematik und Algebra, weswegen mir deren Grundlagen fehlen.

Es wäre schön, wenn sich jemand finden würde. Das Thema ist neu, wichtig und ausbaufähig sowie publikationswürdig. Da die zu entwickelnden mathematischen Sätze von allgemeiner Bedeutung, dabei aber relativ einfach sind, könnten sie später in den Lehrbüchern erscheinen.

[Chow 1999] Chow, T.: What is a closed-form number. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448

[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: Schanuel's Conjecture Implies Ritt's Conjectures. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


Bevor ich mich um Gleichungen in mehreren Funktionen kümmere, will ich versuchen, Beweise für die entsprechenden Vermutungen mit den Gleichungstypen unten zu finden und zu formulieren.

$E,E_1$ seien elementare Funktionen.
$P\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$
$p\in\overline{\mathbb{Q}}[x]$
$R\in\overline{\mathbb{Q}}(x,y)$
$r\in\overline{\mathbb{Q}}(x)$

$P(E(z_0),e^{E(z_0)})=0$, $P(E(z_0),\ln(E(z_0)))=0$

$R(E(z_0),e^{E(z_0)})=0$, $R(E(z_0),\ln(E(z_0)))=0$

$E(R(E_1(z_0),e^{E_1(z_0)}))=E(0)$, $E(R(E_1(z_0),\ln(E_1(z_0))))=E(0)$


$P(z_0,e^{p(z_0)})=0$, $P(z_0,\ln(p(z_0)))=0$ ?

$R(z_0,e^{r(z_0)})=0$, $R(z_0,\ln(r(z_0)))=0$ ?


$E(R(E_1(z_0),e^{R_1(E_1(z_0))}))=E(0)$, $E(R(E_1(z_0),\ln(R_1(E_1(z_0)))))=E(0)$ ?

Die Vermutungen für die ersten 6 Gleichungstypen oben lassen sich einfach beweisen. Im Moment bastle ich nur noch an der korrekten Formulierung der Beweise. Bereits diese 6 Sätze sind neu. Ich lag also richtig mit meiner Vermutung, dass sich Lins Satz erweitern oder verallgemeinern lässt.

Ob sich entsprechende Vermutungen für die mit Fragezeichen gekennzeichneten Gleichungstypen finden lassen, ist im Moment ungewiss. Das hängt mit der Irreduzibilität bzw. Teilerfremdheit der Zusammensetzung von Polynomausdrücken bzw. rationalen Ausdrücken zusammen.

Ihr seht also, das Thema ist wert, dass es bearbeitet wird. Veröffentlichungen dazu wären möglich. Da ich aber kein Mathematiker bin, dauert das bei mir sehr, sehr, sehr lange. Es wäre deshalb schön, wenn sich ein Mathematiker finden würde, der das Projekt mit mir gemeinsam bearbeitet. Für einen Mathematiker sind die entsprechenden Beweise garantiert ganz einfach.




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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-01


2019-11-01 13:28 - IVmath in Beitrag No. 1 schreibt:
Es wäre deshalb schön, wenn sich ein Mathematiker finden würde, der das Projekt mit mir gemeinsam bearbeitet. Für einen Mathematiker sind die entsprechenden Beweise garantiert ganz einfach.
Hallo MathIV.
Wieso sollte jemand der sich damit wirklich auskennt und sich für das Projekt interessiert dich mitziehen und dir immer alles erklären? Du scheust dich ja schon davor eine einfache Definition anzuwenden und sich hinsetzen und dir eine Theorie von den Grundlagen beginnend sorgfältig aneignen willst du ja nicht. Da kann er es ja gleich alleine machen, was für ihn viel einfacher sein wird. Wozu also?
Viele Grüße


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01



2019-11-01 14:03 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 2 schreibt: ...


1.) Diejenigen werden es schon wissen. (Noch hat sich aber keiner bei mir gemeldet.)

2.) Wenn man mir die mathematischen Formulierungen aufschreibt, werde ich sie schon verstehen. Die Materie ist ja nun nicht so kompliziert. Ich kann die Dinge eben nur nicht mathematisch korrekt und eindeutig formulieren.

3.) Bisher hatte ich eine Reihe von Ideen dazu, vielleicht fallen mir bei der Arbeit am Gemeinschaftsprojekt noch weitere ein.

4.) Ich kann ja schlecht sagen: "Macht Ihr mal!"

5.) Es geht mir nur darum, dass das was möglich ist aus dem Thema herausgeholt wird. Wenn das Andere machen, brauche ich mich nicht damit rumplagen.

6.) Inzwischen habe ich das Thema und auch einige Vermutungen in den Foren verbreitet. Da es sich dabei um Neues handelt, müssen Andere das zitieren.



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