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Strukturen und Algebra » Ringe » Übung in Ringtheorie
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Universität/Hochschule Übung in Ringtheorie
helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-01


In diesem Beitrag wurde der Ring \(R = \IQ[X^2,X^3]\) betrachtet und gezeigt:

\(R = \{p \in \IQ[X] \;|\; p = p_0 + p_2X^2 + \dots + p_nX^n\}\)

Weiter sieht man leicht: \(X^2\) ist unzerlegbar in \(R\), aber nicht prim; somit ist \(R\) nicht faktoriell.

Übung:

(1) Beschreibe das Hauptideal \(I = X^2R\).
(2) Beschreibe den Ring \(R/I\).
(3) Gib ein maximales Ideal an, welches \(I\) enthält.
(4) Ist der Ring \(R\) noethersch? Begründung?

Anmerkung: Ich habe selber keine vollständige Lösung (insbesondere nicht für (4)) und möchte dies mal zur Diskussion stellen.






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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 559
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-01


Ich verstehe nicht warum \(X^2\) kein Primelement ist. Nach Definition ist \(p\in R\) ein Primelement, falls \(p|ab \Rightarrow p|a \) v \(p|b\) für alle \(a,b\in R\) (und \(p\neq 0\) und keine Einheit). Man beachte, dass \(a,b\) aus \(R\) sind. D.h. man kann nicht das ''Gegenbeispiel'' \(X^2 | X^2 = X\cdot X\) schreiben, da die letzte Gleichheit nicht existiert in \(R\), da \(X\notin R\).
Oder \(\mathbb{Q}[X^2,X^3]/(X^2) = \mathbb{Q} \), also ist \((X^2)\) ein Primideal, sogar maximal.

Red_

Edit: Da \(\mathbb{Q}\) noethersch, so auch \(\mathbb{Q}[X]\) (nach Hilberschen Basissatz), und da \(R\) ein Unterring ist, ist insbesondere \(R\) noethersch.



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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1376
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


\(X^2X^4 = X^3X^3\)

Unterringe von noetherschen Ringen müssen nicht noethersch sein. Sonst wären ja alle Integritätsbereiche noethersch als Unterringe ihres Körpers der Brüche.



[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Ringe' von helmetzer]



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Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 559
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-01


Ah ich seh's. Danke.
Das was du geschrieben hast stimmt natürlich mit den unterringen. Man kann aber aus dem Beitrag, den du verlinkt hast leicht folgern, dass \(R\) noethersch ist, da \(R\) ein Quotientenring ist aus einem noetherschen Ring und wir eine 1zu1 inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Idealen haben.



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4037
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-02


Ich schreibe $T$ für die Variable. Also $R = \IQ[T^2,T^3]$ und $I = \langle T^2\rangle$.

(4) $R$ ist per Definition endlich-erzeugt über $\IQ$, nach Hilberts Basissatz also Noethersch. Genauer gesagt hat man einen Isomorphismus $\IQ[X,Y]/\langle X^2-Y^3\rangle \cong R$, $X \mapsto T^3$, $Y \mapsto T^2$.
 
(1) $I$ besteht aus den Polynomen, deren Koeffizienten bei $T^0,T^1,T^3$ verschwinden. Zu beachten ist, dass hier tatsächlich $T^3 \notin \langle T^2 \rangle$.
 
(2) Der in (4) genannte Isomorphismus überführt $I=\langle T^2\rangle$ in $\langle Y \rangle$, sodass $R/I \cong \IQ[X,Y]/\langle X^2-Y^3,Y\rangle = \IQ[X]/\langle X^2\rangle$. Konkret hat man als $\IQ$-Basis in $R/I$ die Restklassen von $1$ und $T^3$, und es gilt die Relation $(T^3)^2 \equiv 0 \bmod I$.
 
(3) Die maximalen Ideale, die $I$ enthalten, entsprechen den maximalen Idealen von $R/I \cong \IQ[X]/\langle X^2\rangle$. Es gibt also genau eines, nämlich $\langle X \rangle$ bzw. in $R$ dann $\langle T^2,T^3\rangle$.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4037
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-02


2019-10-01 10:59 - Red_ in Beitrag No. 1 schreibt:
Oder \(\mathbb{Q}[X^2,X^3]/(X^2) = \mathbb{Q} \), also ist \((X^2)\) ein Primideal, sogar maximal.

Das ist leider nicht richtig (vgl. meinen Beitrag).



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Red_
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Mitteilungen: 559
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-02


Ja genau Triceratops, ich habe versäumt, dass \(X^2 \) nicht \(X^3\) in dem Ring teilen muss...



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