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Strukturen und Algebra » Ringe » Unterring von IQ
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Universität/Hochschule Unterring von IQ
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-01


Hallo!

Sei p eine Primzahl aus IN.
Sei Z(p) = {x/y Element IQ : x,y aus IZ-{0} und v_p(x)-v_p(y) > -1} U {0}
Dabei bezeichnet v_p(x) den Exponenten von p in der Primfaktorzerlegung von x.
Also zB v_2(8) = 3 oder v_5(4) = 0.

Ich soll nun Zeigen (u.a.), dass das ein Unterring von IQ wäre.

Allerdings ist die Menge bezüglich der Addition anscheinend nicht abgeschlossen:

Sei p = 2:
4/4 ist in Z(2) und 8/4 auch, denn v_2(4) = 2 und v_2(8) = 3.
4/4 + 8/4 = 12/4, aber 12/4 ist nicht in Z(2), denn v_2(12) = 1, wegen 12 = 2*3*3.

Ich ging nun bereits mehrere Male die Aufgabenstellung sehr penibel durch, als auch zB die konventionelle Bezeichnung im Buch für v. Aber ich finde keinen (Interpretations-(?))Fehler.

Vielen Dank für die Hilfe!

Lukas


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-01


Hallo,

4/4=1, 8/4=2,12/4=3.
12=2*2*3

$v_2(\frac{12}{4}) = v_2(12)-v_2(4)=2-2=0$.
Du darfst die Nenner nicht vergessen.

Außerdem wäre nach deiner - falschen - Rechnung 12/4 im Ring, da 1 > -1.

P.S. > -1 ist sehr seltsam. Warum nicht $\geq 0$?



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01

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(2019-10-01 11:02 - qwertzusername in <a href=viewtopic.php?
$v_2(\frac{12}{4}) = v_2(12)-v_2(4)=2-2=0$.
Du darfst die Nenner nicht vergessen.

Wieso? Die Primfaktorzerlegung von 12 ist doch 2*3*3. Da kommt die 2 doch nur einmal vor.

Also wäre es 1-2 = -1.

Danke


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-01


Das solltest du vielleicht nochmal nachrechnen :-)


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Ringe' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


Alles klar, danke euch.
Das 1x1 nochmal zu wiederholen wäre wohl angesagt. 😉


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-01


Für Interessierte:

Der Beweis, dass dies ein Unterring ist, ist ziemlich trivial.
Man überlege sich lediglich:

Wann genau x/y + u/v in Z(p) ist. ... Dann überlege man sich nur wo man p überall ausklammern kann.
Zudem gilt:
v(x*y) = v(x) + v(y)

So viel zur Abgeschlossenheit der Addition.

Die anderen Bedingungen sind offensichtlich.



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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne 😄



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-03


Hallo LukasNiessen,

das $\IZ(p)$ im Themenstart ist der Bewertungsring der $p$-adischen Bewertung auf $\IQ$. Dieser lässt sich mit $\IZ_{(p)}$ (Lokalisierung nach dem Primideal $(p)$) identifizieren.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-04

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Hi Lukas.

Man kann $\Z_{(p)}$ als Bewertungsring von $\Q$ bezüglich der Bewertung $p$-adischen Bewertung $v_p$ ansehen, oder als Lokalisierung von $\Z$ an der Stelle $\pr=(p)$.

$1.$ Wenn $v$ eine nicht-archimedische Bewertung auf einem Körper $K$ ist, dann ist $R_v\colon\defeq\set{x\in K}{v(x)\geq 0}$ immer ein Ring den man Bewertungsring von $K$ an der Stelle $v$ nennt.  

Wenn $w$ auf einem nullteiler-freien Ring $R$ definiert ist (z.b. $\Z$), dann kann man den Quotientenkörper $K\colon\defeq \o{Quot}(R)$ (z.B. $\Q$) betrachten, der einfach aus allen Brüchen $\frac{a}{b},u,v\in R,R\setminus\{0\}$ besteht.

Die Bewertung $w$ setzt sich dann durch $v(\frac{a}{b})\colon\defeq w(a)-w(b)$ auf $K$ fort, wie in deinem Beispiel wo sich $v_p$ von $\Z$ auf $\Q$ fortsetzt.

Dass $R_v$ immer ein Ring ist kann man ganz allgemein zeigen, indem man
$v(x),v(y)\geq 0\implies v(x+y),v(x\pt y)\geq 0$ nachrechnet.

Im Beispiel gilt $R_v=\set{\frac{a}{b}\in \Q}{v_p(\frac{a}{b})\geq 0}=\set{\frac{a}{b}\in \Q}{v_p(a)-v_p(b)\geq 0}=\Z_{(p)}$.

Man kann das auch ohne Bewertungen hinschreiben:

$\Z_{(p)}=\set{\frac{a}{b}\in\Q}{p\not\mid b}$.

Das bedeutet. Man bekommt $\Z_{(p)}$ indem man einfach alle Zahlen invertierbar macht die nicht durch $p$ teilbar sind.
Falls es dich interessiert:
(Wenn man eine Zahl $f$ als Funktion auf $\sp{\Z}=\{0,p\tx{prim}\}$ betrachtet, dann ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $p$ durch $f(p)\colon\defeq f\mod p$ definiert. $p\mid f$ bedeutet also, dass die Funktion $f$ an der Stelle $p$ eine Nullstelle hat. $v_p(f)$ gibt an von welchem Grad die Nullstelle ist. Wie bei Polynomfunktionen: $f(z)=g(z)(z-z_0)^k$, $k$ ist die Ordnung der Nullstelle. Das gleiche kann man auch mit Polen machen wenn $k<0$. Man betrachtet also $\frac{a}{b}$ als quotienten zweier Funktionen, so wie man auch Quotienten von Polynomfunktionen $\frac{a(z)}{b(z)}$ betrachten kann. Wenn $b(z)$ eine Nullstelle hat - du kennst das aus der Schule von gebrochen rationalen Funktionen - dann spricht man von einem Pol. Zum Beispiel hat $\frac{1}{x^2+1}$ einen Pol bei $i$ und einen bei $-i$. Die Bedingung $v(\frac{a}{b})\geq 0$ besagt also, dass die "gebrochen rationale" Funktion $\frac{a}{b}\in \Q$ keinen Pol an der Stelle $p$ haben soll.
Es ist also $\Z_{(p)}$ der Ring aller rationalen Funktionen die an der Stelle $p$ keinen Pol haben. Interessant ist auch, dass die Elemente von $\Z_{(p)}$ genau die rationalen Zahlen sind die sich in der Form $\sum_{k=0}^\infty a_kp^k, a_k\in \{0,\pts, p-1\}$ schreiben lassen. Zum Beispiel ist $\frac{1}{1-p}=1+p+p^2+p^3+\pts$.
Man kann sich $\Z_{(p)}$ vorstellen als Funktionen auf $\sp{\Z}$ die auf einer beliebig kleinen Umgebung von $p$ definiert sind, aber das ist jetzt schon fast zu viel Information nehme ich an.
Mehr dazu findest du in jedem Buch über $p$-adische Zahlen, zum Beispiel [Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Kapitel $\o{II}$]. )


Man nennt den Prozess gewisse Elemente invertierbar zu machen "Lokalisierung". $\Z_{(p)}$ ist dann die Lokalisierung von $\Z$ an dem Primideal $(p)$ weil genau die Elemente invertiert werden die nicht in dem Primideal liegen, also die die nicht durch $p$ teilbar sind.

$\viele$

PS:
Das Symbol
$\Z_{(p)}$ bekommst du in Latex mit dem Befehl
\mathbb{Z}_{(p)} 
hin. Es wäre schön, wenn du dir langsam angewöhnen könntest Latex oder fed zu benützen, damit deine Beiträge leserlicher werden ;).







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PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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2019-10-01 11:50 - LukasNiessen in Beitrag No. 4 schreibt:
Alles klar, danke euch.
Das 1x1 nochmal zu wiederholen wäre wohl angesagt. 😉
Siehe hier und

hier.
Übung macht den Meister ;-).

Viele Grüße



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LukasNiessen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LukasNiessen hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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