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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Selbstäquivalenzen auf kleine Kategorien
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Universität/Hochschule J Selbstäquivalenzen auf kleine Kategorien
Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 384
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-03


Hi,

es geht um Äquivalenzen von Kategorien. Zunächst mal die Aufgabenstellung:

Let $\mathscr{C}$ be a small category. A self-equivalence of $\mathscr{C}$ is an equivalence $F: \mathscr{C} \to \mathscr{C}$.
Show that the self equivalences of $\mathscr{C}$ form a group, under the composition of functors.

Ich bin bisschen verwirrt, denn ich meine, ein Gegenbeispiel hierfür zu haben. Kann bitte jemand das Beispiel überprüfen, und mir sagen, wo mein Fehler ist, ohne mehr von der Aufgabe zu verraten?

Sei $\mathscr{C}$ die Kategorie mit einem Objekt $A$ und zwei Morphismen $\operatorname{id}_A, f$ mit $f = f^2$. Der triviale/konstante Funktor $F$ (mit $f \mapsto \operatorname{id}_A$) ist eine Selbstäquivalenz (denn $FF \cong \operatorname{id}_{\mathscr{C}}$), besitzt aber kein inverses Element (in der Funktorkategorie). Somit ist diese Kategorie ein Gegenbeispiel?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-03


Hallo,

das kann keine Äquivalenz sein, da der Funktor nicht treu ist.


[Verschoben aus Forum 'Kategorientheorie' in Forum 'Kategorientheorie' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗



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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 384
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04


Danke!

Ich habe wohl gedacht, dass die Natürlichkeitsbedingung in diesem Fall keine Information hergibt - was natürlich nicht stimmt.

(Und die Charakterisierung von Äquivalenz mit volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sollte ich wohl auch mal verwenden.)


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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 384
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04


Hmm, wie wäre es dann hiermit:

Sei $\mathscr{C}$ die Kategorie mit zwei Objekten $A,B$ und die Morphismen $\operatorname{id}_A, \operatorname{id}_B, f:A \to B, f^{-1} : B \to A$. Nach Konstruktion ist also $A \cong B$. Sei $F$ der konstante Funktor, der die Objekte auf $A$ schickt und alle Morphismen auf $\operatorname{id}_A$.

Nun ist $F$ treu, voll und wesentlich surjektiv und somit eine Äquivalenz von Kategorien.

Das kann aber kein inverses Element in der Funktorkategorie haben, da $F$ nicht bijektiv bzgl. Objekten ist.

Was ist nun falsch?  confused


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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-04


$F$ ist immer noch nicht treu.

Übrigens, Äquivalenzen müssen nicht bijektiv auf den Objekten sein.



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04


Danke!

Ich sehe aber nicht ganz wieso, jede Morphismenmenge hat doch ein Element und wird via $F$ auf $\operatorname{Hom}(A,A)$ mit einem Element geschickt, somit ist $F$ bijektiv bzgl. Morphismenmengen, also müsste $F$ treu sein?

Im Allgemeinen müssen Äquivalenzen nicht bijektiv auf Objekte sein, aber müssen sie es nicht im Fall dieser Aufgabe sein? Schließlich möchte ich zeigen, dass $F$ ein "echter" Isomorphismus ist?


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4056
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-04


Ok, du hast Recht, $F$ ist eine Äquivalenz von Kategorien, aber kein Isomorphismus und damit nicht invertierbar im üblichen Sinne. Aber $F$ ist, wie jede Äquivalenz, pseudo-invertierbar in dem Sinne, dass es einen Funktor $G$ gibt mit $F \circ G \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$ und $G \circ F \cong \mathrm{id}_{\mathcal{C}}$.

Die Aufgabe ist also falsch gestellt. Die Selbstäquivalenzen einer Kategorie bilden keine Gruppe, sondern eine 2-Gruppe (eine monoidale Kategorie, in der jeder Morphismus und jedes Objekt auf gewisse Weise invertierbar ist, siehe hier). Jedenfalls kann man jede 2-Gruppe zu einer Gruppe machen, indem man die Isomorphieklassen betrachtet.

Das heißt hier: Wir betrachten Klassen $[F]$ von Äquivalenzen $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$, wobei $[F]=[G]$ genau dann gelten soll, wenn $F \cong G$ gilt. Die Komposoition ist durch $[F] \circ [G] := [F \circ G]$ definiert. Man erhält damit tatsächlich eine Gruppe, die sogenannte Automorphismenklassengruppe von $\mathcal{C}$ (siehe hier für ein paar Beispiele).

Wo kommt die Aufgabe eigentlich her? Ich würde vorschlagen, den Autor / die Autorin zu kontaktieren. Die sind in der Regel sehr dankbar für Korrekturen.



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 384
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-04


Vielen Dank, Triceratops!

Ich habe mir überlegt, ob der Author meinte, dass die Äquivalenzen bis auf Isomorphie eine Gruppe bilden, habe das aber verworfen, da die nächste Teilaufgabe Folgende ist:

Show that the set of self equivalences $F$ with the property $F \cong \operatorname{id}_{\mathscr{C}}$ is a normal subgroup of $\operatorname{Aut}(\mathscr{C})$. (Dabei bennen wir die Gruppe aus der ursprünglichen Aufgabe mit $\operatorname{Aut}(\mathscr{C})$.

Und diese wäre dann schließlich trivial, da die Untergruppe die triviale Untergruppe wäre.

Die Aufgabe ist eine Hausaufgabe in einem Kurs zur Darstellungstheorie von Algebren bei Peter Webb - ich werde ihn später in der Vorlesung fragen.


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06


Die Aufgabe wurde nun geändert, wir betrachten jetzt die Isomorphieklassen.  smile


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