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Universität/Hochschule Lagrange-Multiplikator
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-06


Guten Nachmittag zusammen

Ich bin gerade an einer Aufgabe mit dem Lagrange Multiplikator. Dabei habe ich die Multiplikatoren gefunden und habe nun Kandidaten für Extremwerte. Nun muss ich aber noch zeigen dass \(f\mid_M\) überhaupt einen globalen Extremwert annehmen kann unter der Nebenbedingung \(c(x,y,z)=0\). Dabei sind die Funktionen folgendermaßen definiert:
- \(f(x,y,z)=(x-1)^2+(y+1)^2+z^2\)
- \(c(x,y,z)= x^2+y^2-z^2-1\)

In einem Beispiel in der Vorlesung haben wir \(M:= c^{-1}(\{0\})\) definiert und haben argumentiert, dass die Einschränkung \(f\mid_M\) stetig ist und \(M\) eine abgeschlossene Menge sei und somit würde die Funktion \(f\) ein globales Minimum haben unter der Bedienung c...Diese Argumentation ging mir aber leider ein wenig zu schnell und ich verstehe diese nicht ganz..

Ich komme leider nicht weiter und würde mich über Denkanstösse freuen

Math_user



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 13:49 - Math_user im Themenstart schreibt:
In einem Beispiel in der Vorlesung haben wir \(M:= c^{-1}(\{0\})\) definiert und haben argumentiert, dass die Einschränkung \(f\mid_M\) stetig ist und \(M\) eine abgeschlossene Menge sei und somit würde die Funktion \(f\) ein globales Minimum haben unter der Bedienung c...

Diese Argumentation beruht auf dem Satz, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Minimum und ihr Maximum annimmt. (Hier kann man komapakt nicht durch abgeschlossen ersetzen.)

Hier ist allerdings $M$ nicht kompakt, da es nicht beschränkt ist. Dieses Problem kann man aber umgehen:
1. Wegen $f\ge0$ existiert $\inf f(M)$.
2. Offensichtlich geht $f(x,y,z)\to\infty$ für $(x,y,z)\to\infty$.
3. Daraus folgt, dass es eine Kugel $B_R(0)$ gibt mit $x\in M\setminus B_R(0)\implies f(x)>\inf f(M)+1$.
4. Also kann man sich bei der Suche nach einem globalen Minimum auf die Menge $M\cap B_R(0)$ beschränken, und die ist kompakt.

--zippy



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 14:08 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
Diese Argumentation beruht auf dem Satz, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Minimum und ihr Maximum annimmt. (Hier kann man komapakt nicht durch abgeschlossen ersetzen.)


Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich habe aber 2 "dumme/elementare" Fragen:
Im Beispiel waren \(f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2\) und \(c(x,y,z):=x+z-1\), wieso ist \(M\) eine abgeschlossene Menge und wieso ist die Einschränkung \(M\) auf \(f\) stetig?  confused



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 14:14 - Math_user in Beitrag No. 2 schreibt:
Im Beispiel waren \(f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2\) und \(c(x,y,z):=x+z-1\), wieso ist \(M\) eine abgeschlossene Menge und wieso ist die Einschränkung \(M\) auf \(f\) stetig?  confused

1. $M$ ist als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{0\}$ unter der stetigen Abbildung $c$ abgeschlossen.

2. Die Einschränkung einer stetigen Funktion ist wieder stetig.

Übrigens ist auch in diesem Beispiel $M$ nicht kompakt. Ihr müsst also in der Vorlesung ähnlich wie in Beitrag Nr. 1 argumentiert haben.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 14:30 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Übrigens ist auch in diesem Beispiel $M$ nicht kompakt. Ihr müsst also in der Vorlesung ähnlich wie in Beitrag Nr. 1 argumentiert haben.

Unsere Beispiele gehen meistens recht schnell... Schon mal danke vielmals für deine Hilfe bis jetzt! Ich verstehe aber die Argumentation im Beitrag Nr. 1 noch nicht ganz, könnstet du versuche diese anhand unserem Beispiel zu verdeutlichen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-06


Hallo, leider weiß ich nicht, welches der beiden Beispiele "unser Beispiel" ist.
Gerne würde gern die Funktion
\[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\] auf der Menge $M=\{(x,y,z)^t\in \mathbb{R}^3\mid c(x,y,z)=0\}$ mit $c(x,y,z)=x+z-1$ minimieren.
Die Funktion $c$ ist stetig. Weiter ist $M$ das Urbild von der abgeschlossenen Menge $\{0\}$ unter der stetigen Abbildung $c$.
Es ist also auch $M$ abgeschlossen. Offenbar ist $(1,0,0)^t\in M$. Somit ist $M\neq \emptyset$ und $\inf\limits_{x\in M} f(x)\leq 1$.
Sei $\overline{B_1(0)}=\{(x,y,z)^t\in\mathbb{R}^3\mid f(x,y,z)\leq 1\}$. Zeige, dass diese Menge kompakt ist. Somit ist $A:=M\cap B_1(0)$
als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ebenfalls kompakt. Wie geht es weiter?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 15:45 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo, leider weiß ich nicht, welches der beiden Beispiele "unser Beispiel" ist.
Gerne würde gern die Funktion
\[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\] auf der Menge $M=\{(x,y,z)^t\in \mathbb{R}^3\mid c(x,y,z)=0\}$ mit $c(x,y,z)=x+z-1$ minimieren.
Die Funktion $c$ ist stetig. Weiter ist $M$ das Urbild von der abgeschlossenen Menge $\{0\}$ unter der stetigen Abbildung $c$.
Es ist also auch $M$ abgeschlossen. Offenbar ist $(1,0,0)^t\in M$. Somit ist $M\neq \emptyset$ und $\inf\limits_{x\in M} f(x)\leq 1$.
Sei $\overline{B_1(0)}=\{(x,y,z)^t\in\mathbb{R}^3\mid f(x,y,z)\leq 1\}$. Zeige, dass diese Menge kompakt ist. Somit ist $A:=M\cap B_1(0)$
als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ebenfalls kompakt. Wie geht es weiter?

Vielen Dank für deine Hilfe. Es scheint mir logsisch, dass \(inf(x)\leq 1\) aber wie kann man dies sauber zeigen? Genau da verstehe ich es nicht, wieso ist nun diese Menge kompakt?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-06


2019-10-06 17:13 - Math_user in Beitrag No. 6 schreibt:
Es scheint mir logsisch, dass \(inf(x)\leq 1\) aber wie kann man dies sauber zeigen?

Ochen hat oben angemerkt, dass $(1,0,0)$ in $M$ liegt. Also ist $\inf f(M)\le f(1,0,0)=1$.

2019-10-06 17:13 - Math_user in Beitrag No. 6 schreibt:
Genau da verstehe ich es nicht, wieso ist nun diese Menge kompakt?

Eine Teilmenge des $\mathbb R^n$ ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. (Das ist das Kompaktheitkriterium von Heine-Borel.)

Nun wissen wir:
1. $M$ ist als Urbild von $\{0\}$ unter der stetigen Funktion $c$ abgeschlossen.
2. $\overline{B_1(0)}$ ist als Urbild von $[0,1]$ unter der stetigen Funktion $(x,y,z)\mapsto|(x,y,z)|$ abgeschlossen.
3. $\overline{B_1(0)}$ ist beschränkt.

Dann können wir weiter folgern:
4. $M\cap\overline{B_1(0)}$ ist als Schnitt zweier abgeschlossene Mengen abgeschlossen.
5. $M\cap\overline{B_1(0)}$ ist wegen $M\cap\overline{B_1(0)}\subseteq\overline{B_1(0)}$ beschränkt.
6. $M\cap\overline{B_1(0)}$ ist kompakt.



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