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Informatik » Algorithmen / Datenstrukturen » Gleichung nur mit Multiplikation lösen
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Kein bestimmter Bereich Gleichung nur mit Multiplikation lösen
math-4-fun
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-07


Hallo liebe Mathematik-Experten!

Ich suche momentan nach einer Möglichkeit, eine Unbekannte nur mithilfe von Multiplikationen zu finden.

Dies sieht in etwa so aus:
Ich habe eine Unbekannte x, welche in einem bekannten Bereich liegen muss. Diese kann ich jedoch nur multiplizieren, andere mathematische Vorgänge sind in diesem Fall nicht möglich (softwarebedingt). Und nun möchte ich durch die Multiplikation mit bekannten Zahlen \(n_{0}\), \(n_{1}\), \(n_{2}\), ... ein Ergebnis erhalten, welches in einem bekannten Unterbereich des Bereiches liegt, in dem x liegen muss. Ziel ist es, die Anzahl der notwendigen Multiplikationen so gering wie möglich zu halten.

Als Formel dargestellt stelle ich mir die Rechenoperation in etwa so vor

\(x * n_{0} * n_{1} * n_{2} * ... * n_{k} = m\)

mit \(a, b, c, d, n_{i}\) bekannt und
\(m \in [c,d]\)
\(x \in [a,b]\)
\([c,d] \in [a,b]\)

Die Auswertung würde separat erfolgen, d.h. der Wert \(m\) und die Werte \(n_{i}\) werden weitergegeben, wodurch es möglich ist, x auszurechnen.

Wie gesagt, Ziel ist es, den Rechenaufwand zu minimieren, d.h. den Bereich [c,d] so klein wie möglich zu halten, da jeder Wert in diesem Bereich zuvor aufwändig berechnet werden muss, und die notwendigen Multiplikationen ebenfalls.

Gibt es hierfür ein euch bekanntes Verfahren, oder könnt ihr mir Tipps dazu geben, wie ich den Bereich [c,d] und die Faktoren, mit denen ich multipliziere am Besten wähle, um möglichst wahrscheinlich in dem gewählten Bereich zu landen?

Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten!

Lg
Stefan



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-07


Hallo Stefan, Willkommen auf dem Matheplaneten .

Es ist nicht einfach, dein Problem ohne ein konkretes Beispiel zu verstehen.
Gib mal eine Gleichung mit einer Unbekannten an. Dann sehen wir weiter.

Gruß Dietmar



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math-4-fun
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-07


Hallo Dietmar,

danke für die Begrüßung und dein Interesse an meinem Problem!

Das ganze muss man sich so vorstellen, als wäre x ein Speicher, den man zwar verwenden kann um damit zu rechnen, jedoch kann man ihn nicht direkt auslesen.

Stellt es euch vor, als könnte im Speicher eine Zahl mit 1-10 Stellen liegen, ich kann jedoch nur einen kleinen Bereich von Zahlen mit 10 Stellen korrekt auslesen. D.h. wenn die Zahl nicht in dem Bereich liegt, welcher mir bekannt ist (ich gehe momentan davon aus, es wäre das beste, das Ende des Bereiches zu kennen, also hier die letzten 10-stelligen Zahlen), kann diese nicht interpretiert werden.

Daher muss ich jede Zahl \(x\) so lange mit beliebigen ganzzahligen Faktoren multiplizieren, bis diese 10-stellig wird und in meinem bekannten Bereich liegt. Danach kann ich das Ergebnis der Multiplikation (in meiner Formel \(m\)) und die verwendeten Faktoren \(n_{0}, n_{1}, ...\) ausgeben und so auf die Zahl \(x\) schließen.

Noch ein Zahlenbeispiel:

Mein gesamter Bereich [a,b] entspricht [1,50], wobei ich nur die Zahlen [c,d], hier z.B. [45,50] korrekt ausgeben kann.
Nun multipliziere ich meine unbekannte Zahl x mit dem Faktor 4 und erhalte 12. Da 12 jedoch nicht in meinem bekannten Bereich liegt, kann ich das Ergebnis nicht interpretieren. Also multipliziere ich nochmals mit 4 und erhalte nun 48. Da 48 in meinem bekannten Bereich liegt, kann ich das Ergebnis ausgeben und interpretieren.

Dieses einfache Zahlenbeispiel darf jetzt jedoch nicht falsch verstanden werden. Das System verhält sich nicht so einfach, da ich nicht weiß, wie weit der Wert von meinem bekannten Bereich entfernt ist.
Also es können keine Rückschlüsse mithilfe von Zwischenergebnissen gemacht werden, welche nicht in meinem bekannten Bereich liegen, da diese schlicht und einfach nicht ausgegeben werden können.
Stellt euch hierfür vor, bei jeder Zahl, welche nicht im Bereich [45,50] liegt, erscheint nur die Ausgabe "FEHLER" und ist somit nicht verwertbar.

Hoffe das macht dieses Problem etwas verständlicher  smile

Lg Stefan



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-08

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Hallo Stefan.

Ich verstehe dein Problem wie folgt:
Sei $[a,b]\sube \N$ ein Intervall in den Natürlichen Zahlen, wobei $[a,b]$ für $a,b\in\N$ durch $\colon\defeq \set{n\in \N}{a\leq n\leq b}$ definiert ist.

$x\in [a,b]$ ist eine Zahl die du gerne herausfinden willst.

Es gelten folgende Spielregeln:
$\bul$ Man darf sich ein Intervall $[c,d]\sube [a,b]$ festlegen.
$\bul$ Man darf die Zahl $x$ mit einer beliebigen Zahl $n\in \N$ multiplizieren und falls das Ergebnis in $[c,d]$ liegt wird dieses Ergebnis ausgegeben. Falls nicht wird eine Fehlermeldung ausgegeben.
Nach Ausgabe der Fehlermeldung darf man den selben Schritt wieder auf $nx$ anwenden.

Fragen
$\bul$ Wird einem mitgeteilt wenn $x\pt n_1\pts n_k$ das Intervall $[a,b]$ verlassen hat? Oder kann man das nur an der Zahl $n_1\pts n_k$ festmachen?
$\bul$ Ist es erlaubt mit Kehrwerten $\frac{1}{n}$ zu multiplizieren?

Deine Strategie um $x$ zu finden ist so:
Du multiplizierst zuerst $x$ mit einer Zahl $n_1$ die du selbst waehlen darfst. Falls das Ergebnis nicht in $[c,d]$ ist multiplizierst du nochmal mit einer Zahl $n_2$. Das machst du so lange bis das Ergebnis entweder $[a,b]$ verlassen hat, oder in $[c,d]$ ist. Falls letzteres der Fall ist hast du gewonnen, denn dann kannst du $x$ aus der Gleichung $x\pt n_1\pts n_k=m$ bestimmen.

Die Frage ist jetzt, wie man so effizient wie möglich vorgeht, wobei Effizienz drei Sachen berücksichtigen soll:

$\bul \a$ Es sollen möglichst wenige Multiplikationen passieren.
$\bul \be$ Es soll $[c,d]$ möglichst klein sein.
$\bul \gamma$ Die Wahrscheinlichkeit $x$ zu finden soll möglichst groß sein.

Man müsste natürlich wissen welche Prioritäten zwischen $\a,\be,\gamma$ gelten. Was ist am wichtigsten?


Der erste Schritt in Richtung Lösung ist es wohl festzustellen, dass das Problem nicht immer lösbar ist, solange man nicht mit rationalen Zahlen multiplizieren darf.
Zum Beispiel könnte $x$ so groß sein, dass bereits $2\pt x$ nicht mehr in $[a,b]$ liegt.

Wie man bei so einem Problem vorgeht ist mir nicht bekannt und ich habe momentan auch keine gute Idee.
Falls man ohne großen Aufwand feststellen kann (durch zwei verschiedene Fehlermeldungen etwa), ob $nx$ in $[a,b]$ ist, dann würde ich versuchen mich daran zu orientieren. Also $n_1$ und $n_2$ finden, sodass $n_1x\leq b< n_2x$ und dann einfach $c,d$ so wählen, dass $d=b$ gilt und dass $[c,d]$ so gross wie möglichst gross und der Rechenaufwand aber noch tragbar ist*. Dann die Werte fuer $n_1$ und $n_2$ immer weiter zusammenschieben und hoffen, dass $nx\in [c,d]$ liegt, fuer ein $n$.

$*$ Das ist sehr wage formuliert. $[c,d]$ zu bestimmen ist vermutlich nicht einfach.

Ich finde das Problem interessant, habe mich aber noch nie mit sowas beschäftigt und weiß auch nicht, ob es hierzu ueberhaupt eine Lösung (oder eine ideale Lösung) gibt.

Viele Grüße.





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PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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math-4-fun
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-08


Hallo!

Ich denke, du hast das Problem richtig verstanden.
Ob es zu dieser Problematik tatsächlich eine sinnvolle Lösung gibt, ist mir leider auch nicht klar...

Danke für den Denkanstoß, denn ich habe nun herausgefunden, dass ich rationale, und nicht nur ganze Zahlen als Faktor \(n_{i}\) verwenden kann! Es gestaltet sich damit zwar umständlicher, ist aber möglich. Diese müssen jedoch größer 1 sein.

Zu deinen Fragen:
- Kehrwerte sind also nicht möglich.
- Zusätzlich kann man nicht feststellen, ob der Bereich [a,b] bereits verlassen wurde oder nicht. Um dieses Problem zu eliminieren hätte ich nach einer gewissen Anzahl an Multiplikationen abgebrochen und mit neuen Faktoren gestartet.

Prioritäten:
- Die Priorität sollte zu allererst β sein, den Bereich [c,d] so klein wie möglich zu halten.
- Das Thema mit Wahrscheinlichkeit und Anzahl an Multiplikationen ist hierbei natürlich voneinander abhängig. Je höher meine Wahrscheinlichkeit, desto mehr Multiplikationen dürfen nötig sein. Je geringer, desto weniger Multiplikationen sollte ich durchführen müssen. Das ganze ließe sich durch mehrfaches Durchlaufen des Algorithmus mit verschiedenen Werten kompensieren.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-08


Wenn ich das auch richtig verstehe,
da alle ni bekannt sind , muß bei der Multiplikation ein ni dem x entsprechen, sofern m im Intervall [c,d] ist,oder ?
Wenn ja, kann aber jedes ni dem x entsprechen.

Was komisch ist:
"Nun multipliziere ich meine unbekannte Zahl x mit dem Faktor 4 und erhalte 12."
Aber dann ist x nicht mehr unbekannt, sondern 3.
Das klingt alles nach Prolog....


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math-4-fun
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-08


Hallo pzktupel,

du hast zwar recht, in meinem Beispiel wäre x = 3, jedoch kann ich dies nicht nach der ersten Multiplikation herausfinden, denn meine Ausgabe ist in diesem Fall nicht „12“, sondern „FEHLER“. Erst wenn das Ergebnis der Multiplikation im Bereich [c,d] liegt, erfolgt eine Ausgabe des Wertes, ansonsten ist meine Ausgabe „FEHLER“.

Ich brauche somit einen Algorithmus, der durch Multiplikationen einen großen Bereich [a,b] in den kleinen Subbereich [c,d] überführt.

Lg
Stefan



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-08


Also praktisch muß das unbekannte x eines der ni's sein.
Wird jedes ni nur einmal genommen ?
Da c,d bekannt sind, hätte man eine untere und obere Grenze.
Darf man die Zwischenprodukte mit den Grenzen vergleichen ?

Es bleibt eigentlich nichts anderes übrig mit System durch.


n1=2
n2=3
n3=5
...

[c,d]=[18,20]

m=2x2x2x2x2=32 F[ehler]
m=2x2x2x3 F
m=2x2x3 F
m=2x3 F
m=2x2x5 JA
m=2x5 F
m=2x3x3 JA

wie auch immer....

Sind Zählvariablen erlaubt ?

n1->i1
n2->i2
n3->i3





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math-4-fun
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-08


Ich muss ehrlich gestehen, ich verstehe nicht, warum x eines der \(n_{i}\) sein sollte.
In dem genannten Bsp. \(m=2*3*3\) ist \(x=2\) und \(n_{0} = 3\) und \(n_{1} = 3\)

x ist die gesuchte Zahl und alle Faktoren \(n_{i}\) sind frei wählbar. Dabei ist es egal, welchen Wert diese annehmen, es kann sowohl gelten \(n_{i}=n_{i+1}\), es darf aber auch \(n_{i}≠n_{i+1}\) sein.

Dass das ganze durch simples durchprobieren aller Kombinationen möglich wäre, ist mir zwar bewusst, jedoch ist diese Vorgehensweise nicht zielführend, da in den meisten Fällen zu langsam.

Deswegen suche ich nach einer Möglichkeit, wie ich mithilfe von Multiplikationen in einen bestimmten Bereich treffe, um die notwendige Rechenarbeit zu reduzieren.



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pzktupel
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Ich habe da ein Problem bzgl Sinn.

Warum x ein ni ist ?

Ich muß doch mit einem Wert die Produktentwicklung beginnen. Da wäre doch x bekannt, sonst wäre es eben eines der ni.

Egal, ich raffe es nicht :-)
Genauso könnte man jede gültige Belegungen m im Intervall [c,d] nehmen und auf Teilbarkeit aus der Menge ni prüfen.

So oder so, x wäre vom Anfang her bestimmt....sonst käme man bei der Multiplikation nicht auf ein m um dann zu prüfen, obs im Interval liegt.

Vielleicht fehlt hier eine genauere Beschreibung des Problems und von dem, was am Anfang vorliegt.

Ich lese mal weiter ....



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matroid
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}} \)
Hallo math-4-fun und alle anderen,

mich erinnert die Fragestellung an folgende:

Gegeben sei ein Kreis mit Umfang $1$; ein Strichmännchen geht mit einer Schrittweite $\alpha$  (längs des Kreisumfangs gemessen) auf dem Kreisumfang entlang, der ein Loch der Breite $\varepsilon$ enthält. Man zeige: Wenn $\alpha$ irrational ist, tritt das Männchen früher oder später in das Loch.

Die Problemgruppe kann man als "diophantische Approximation" auffassen.
Die Thematik wurde im 19. Jh. auch von Jacobi, Kronecker und später Weyl bearbeitet, letzterem ging es aber eher um eine Theorie der Gleichverteilung.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)


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math-4-fun
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@pzktupel

Der Wert x ist natürlich von Anfang an definiert, aber er kann nicht ausgegeben werden.

Würde ich einfach alle möglichen Belegungen aus der Menge [c,d] auf Teilbarkeit prüfen, würde ich jedoch als Ergebnis nur den Bereich erhalten, der mir schon bekannt ist, nämlich [a,b]. Ich kenne somit die möglichen Werte von x, nicht aber den exakten Wert.

@matroid

Vielen Dank für den Hinweis, ich werde mich einmal in dieses Thema einlesen, um zu sehen, ob ich Ansätze für mein Problem finde.

Lg
Stefan



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math-4-fun
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Hallo matroid,

ich habe mich zwar nun mit dem angesprochenen Problem und der diophantischen Approximation beschäftigt, finde jedoch ehrlich gesagt dadurch zu keinem Lösungsansatz...

Die Sache ist ja die, dass das Beispiel mit der irrationalen Schrittlänge darauf aufbaut, dass sich das Männchen im Kreis bewegen kann und somit früher oder später jeden Punkt des Kreises berührt, falls ich das Beispiel korrekt verstanden habe. Jedoch führt meine Rechnung nicht im Kreis, sondern ins Unendliche.

Ich benötige daher eine Lösung dieses Problems für eine Strecke mit einem Loch, welche nur einmal abgelaufen wird.  confused

Lg
Stefan



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