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Strukturen und Algebra » Gruppen » Algebra, Normalreihen, Äquivalenz, Beispiel, Schreibweise
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Autor
Universität/Hochschule J Algebra, Normalreihen, Äquivalenz, Beispiel, Schreibweise
Neymar
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Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 565
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-08 10:37


Moin alle zusammen,

ich habe mir hier kurz angeschaut, was Normal- bzw. Subnormalreihen sind und was äquivalente Normalreihen sind (Def. II.8.7).

Nun habe ich mir ,,Fraleigh's Example 35.7." angeschaut und kenne die dort verwendete Schreibweise nicht; also $\mathbb Z_{15}:= \mathbb Z/15\mathbb Z$, aber was bedeuten $\left\{\overline{0}\right\}$ bzw. $\left\langle \overline 5 \right\rangle$? Wozu dienen die Striche?


-- Neymar



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-08 10:51


Mit $\overline{a}$ kennzeichnet man gerne die Äquivalenzklasse zu dem Vertreter $a$.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Neymar
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 565
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-08 11:18


Welche Äquivalenzrelation betrachtet man denn?



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PhysikRabe
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Dabei seit: 21.12.2009
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Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-08 11:25


2019-10-08 11:18 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:
Welche Äquivalenzrelation betrachtet man denn?

Eben die, durch die $\mathbb Z/15\mathbb Z$ charakterisiert wird. $\overline{5} \in \mathbb Z/15\mathbb Z$ ist das Bild von $5\in\mathbb Z$ unter der kanonischen Quotientenabbildung $\mathbb Z  \twoheadrightarrow \mathbb Z/15\mathbb Z$.

Grüße,
PhysikRabe


-----------------
"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
"Even logic must give way to physics." - Spock



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2760
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-08 11:30


$\IZ/n\IZ$ wird gewöhnlich erstmal als Menge von Äquivalenzklassen der Relation "modulo n" auf $\IZ$ konstruiert (plus Operationen, je nachdem, ob man die Gruppe oder den Ring meint.)

In $\IZ/15\IZ$ ist also mit $\overline{5}$ die Klasse $\{\ldots, -10, 5, 20, 35, \ldots \}$ gemeint.

Wenn man den kanonischen Homomorphismus $\pi : \IZ \to \IZ/n\IZ$ vor Augen hat, ist $\overline a$ eine andere Schreibweise für $\pi(a)$.

$\langle \overline 5\rangle$ ist dann die von $\overline 5$ erzeugte Untergruppe von $\IZ/15\IZ$. (Oder das Ideal, ich hab das Script nicht gelesen.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-08 12:01


Erst einmal danke für die beiden Antworten.

Also zusammengefasst lässt sich dann sagen, dass $\overline{5}=5+15\mathbb Z$ lautet. Dann ist also $\left\langle\overline{5}\right\rangle=\{5+15\mathbb Z, 10+15\mathbb Z, 15+15\mathbb Z = 15\mathbb Z\}$, hätte ich gesagt. (Ist das richtig?)


$\langle \overline 5\rangle$ ist dann die von $\overline 5$ erzeugte Untergruppe von $\IZ/15\IZ$. (Oder das Ideal, ich hab das Script nicht gelesen.)
$>$ Leider bin ich noch nicht so weit, zu wissen, was ein Ideal ist, ich bin noch ganz am Anfang. Das kommt aber in dem Lehrbuch, das ich benutze, auf jeden Fall noch dran.


-- Neymar



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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-08 12:47


2019-10-08 12:01 - Neymar in Beitrag No. 5 schreibt:
Also zusammengefasst lässt sich dann sagen, dass $\overline{5}=5+15\mathbb Z$ lautet. Dann ist also $\left\langle\overline{5}\right\rangle=\{5+15\mathbb Z, 10+15\mathbb Z, 15+15\mathbb Z = 15\mathbb Z\}$, hätte ich gesagt. (Ist das richtig?)
Ja, das ist richtig. Bzw. $\langle \overline 5 \rangle = \{ \overline 0, \overline 5, \overline 10 \}$ :-)


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-09 21:18


Alles klar, danke für die Rückmeldung!


-- Neymar



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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