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Analysis » Funktionalanalysis » Beschränktheit einer Bilinearform
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Universität/Hochschule Beschränktheit einer Bilinearform
bishop2k
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-09


Hallo !

ich habe folgendes Problem bei dem ich eure Hilfe gebrauchen könnte.
Die folgende Bilinearform sei gegeben

\[ a(u,\zeta) = 2\tau\int_A  \left [ \left ( \nabla\otimes\textbf{u} + \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T \right ) :\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes\zeta + \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right )  \right ]  \;dA \]
Es soll gezeigt werden, dass diese beschränkt ist im Kontext dass $u\in (H^1)^3$ und $\zeta \in (H^1)^3$.
Folgend mein Ansatz

\[\begin{align}
\left | a(u,\zeta) \right | &= \left | 2\tau \int_A \left [ \left ( \nabla\otimes\textbf{u} + \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T \right ) :\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes \zeta + \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right )  \right ]  \;dA \right |\\
&= 2\tau \int_A \left | \left [ \left ( \nabla\otimes\textbf{u} + \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T \right ) :\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes \zeta + \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right )  \right ] \right | \;dA  \\
&\leq 2\tau \int_A \left | \nabla\otimes\textbf{u}:\mathbb{C}: \nabla\otimes\zeta \right | + 2\left | \nabla\otimes\textbf{u}:\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right | + \left | \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T:\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right | \;dA\\
&\leq 2\tau \left \| \mathbb{C} \right \|_F \int_A \left \| \nabla\otimes\textbf{u} \right \|_F\left \| \nabla\otimes\zeta \right \|_F + 2\left \| \nabla\otimes\textbf{u} \right \|_F\left \| \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T\right \|_F+\left \| \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T\right \|_F\left \| \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right \|_F \;dA
\end{align}\]
wobei von Schritt 2 nach 3 die Dreiecksungleichung und von 3 nach 4 die Cauchy Schwarz Ungl. und Submultiplikativität ausgenutzt worden ist. F stellt die Frobeniusnorm dar.
Meine Frage , wie komme ich nun zur eigentlichen Abschätzung ?

\[\left | a(u,\zeta) \right | \leq M \left \| u \right \|_{H^1}\left \| \zeta \right \|_{H^1}\]
LG



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-09


Hallo,

kannst du bitte einmal die Notation erklären? Mir ist sie nicht geläufig, obwohl ich mir vorstellen kann, was du meinst.

Sei $u\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ stetig differenzierbar, ist \[\nabla\otimes u = \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x_1} &\frac{\partial u_2}{\partial x_1}&\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\\
\frac{\partial u_1}{\partial x_2} &\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\\
\frac{\partial u_1}{\partial x_3} &\frac{\partial u_2}{\partial x_3}&\frac{\partial u_3}{\partial x_3} \end{bmatrix}?\] Vielleicht ist diese Schreibweise etwas informell?

Ist $[A:B]$ das Forbenius-Skalarprodukt, also so etwas wie die Spur von $B^HA$?

Falls es so ist, so versuche doch mal bitte
\[ \left [ \left ( \nabla\otimes\textbf{u} + \left ( \nabla\otimes\textbf{u} \right )^T \right ) :\mathbb{C}: \left ( \nabla\otimes\zeta + \left ( \nabla\otimes\zeta \right )^T \right )  \right ] \] explizit hinzuschreiben :)



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bishop2k
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-10


Vielen Dank für die Rückmeldung. Ich hätte mich tatsächlich präziser ausdrücken sollen.
$\otimes$ stellt das dyadische Produkt, wie dargestellt, und $A:B$ das Forbenius-Skalarprodukt dar. $\mathbb{C}$ ist der Materialtensor 4ter Stufe.
Diese Schreibweise wird gerne in der Kontinuumsmechanik genutzt, daher kommend auch diese Bilinearform. Ziel soll es sein mit der Hilfe von Lax-Milgram Eindeutigkeit und Existenz der schwachen Lösung, in der diese Bilinearform enthalten ist, aufzuzeigen .

Die explizite Darstellung werd' ich nachreichen- auf dem Handy tex't es sich schlecht.

LG



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