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Mathematik » Analysis » Schwieriges Integral
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Universität/Hochschule J Schwieriges Integral
flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-12


Hallo,


ich habe Schwierigkeiten mit folgendem Integral:

Integral dx / (a * r^2)

dabei ist r = quadratwurzel(x^2 + A)
und a = 1 - B * ln(r / R)

Die großen Buchstaben A, B, R sind Konstanten.

Kann mir jemand weiterhelfen und gibt es vielleicht eine andere Lösung als eine Taylor-Entwicklung? Über eine Antwort würde ich mich riesig freuen.

Viele Grüße in die Runde,

Ralf



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-12


Hallo Ralf,
so?

\(\displaystyle \int{\frac{\mathrm{d}x}{\left(1-B\ln\left(\dfrac{\sqrt{x^2+A}}{R}\right)\right)(x^2+A)}}\)

wobei man \(\ln\) auch als \(\log\) schreiben kann.

Für A=B=R=1 gibt WolframAlpha integrate 1/((1-ln(sqrt(x^2+1)))*(x^2+1)) dx als Ergebnis

"(no result found in terms of standard mathematical functions)"

aus, das ist nicht vielversprechend.

Viele Grüße,
  Stefan
 



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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Hallo Stefan,

genau das Integral meine ich. Und wolframalpha habe ich auch schon gefragt. Vielleicht hilft es, dass r >= R angenommen werden kann? Wie würdet ihr an das Problem herangehen? Ich bin wirklich für jeden noch so kleinen Hinweis dankbar.

Vielen Dank,

Ralf



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-12


Hallo

Ich würde u=x^2+a substituieren.

Gruß Caban



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-12


2019-10-12 12:00 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo

Ich würde u=x^2+a substituieren.

Gruß Caban

Hi Caban,
das würde nur etwas bringen, wenn im Zähler $x\mathrm dx$ stünde, statt nur $\mathrm dx$.
@flar2: Wie sind die Integrationsgrenzen?


Ciao,

Thomas



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Anaconda
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-12


In diesem Fall wäre es tatsächlich sehr hilfreich, die Grenzen zu kennen.


-----------------
Anaconda = PythonX = PythonY ≠ PythonZ



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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Die Grenzen gehen von x1 bis x2, d.h. ich habe keine festen Zahlen. Theoretisch würde mich die uneigentliche Integration von minus undendlich bis plus unendlich interessieren. Auch der Fall von symmetrischen Grenzen -x bis +x wäre interessant, wobei x zur Vereinfachung ein Vielfaches von R sein kann. Geht die Frage in Richtung numerische Integration?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-12


fed-Code einblenden



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-12


Hallo Caban,
2019-10-12 13:50 - Caban in Beitrag No. 7 schreibt:
fed-Code einblenden
Das halte ich für fraglich. Der Integrand ist gerade, und für symmetrische Integrationsgrenzen nahe null ist das Integral näherungsweise $2r\cdot f(0)$, also
$$\frac{2r}{\left(1-B\ln\left(\dfrac{\sqrt{A}}{R}\right)\right)A}=\frac{2r}{A-AB\ln\left(\dfrac{\sqrt{A}}{R}\right)}$$Daher kann Deine Formel nicht stimmen.

Ciao,

Thomas



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-12


Hallo
Stimmt, da habe ich einen Fehler gemacht

Gruß Caban



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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Und wenn man A = y^2 setzt und quasi variabel macht, würde man dann mit ebenen Polarkoordinaten weiterkommen?



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-12


Hallo flar2,
2019-10-12 18:09 - flar2 in Beitrag No. 10 schreibt:
Und wenn man A = y^2 setzt und quasi variabel macht, würde man dann mit ebenen Polarkoordinaten weiterkommen?

phantasievoller Ansatz, aber funktioniert leider nicht. Probiere es doch an einem einfachen Beispiel, dessen Lösung Du kennst, aus.
Dein Integral ist nicht lösbar. Ich habe nach den Integralgrenzen gefragt, weil es manchmal möglich ist, mittels des Residuensatzes bestimmte Integrale zu berechnen, oder auch durch Reihenentwicklungen eine kompakte Darstellung hinzubekommen.

Ciao,

Thomas



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flar2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


@MontyPythagoras: Danke für die Hinweise. Ich versuche es noch einmal mit einer Reihenentwicklung. Mein erster Versuch hat die Reihe vielleicht zu schnell abgebrochen, da der ln nicht so schnell konvergiert. Die Idee mit dem Residuensatz würde mich allerdings genauer interessieren. Hat das nicht mit den Integrationsgrenzen plus/minus Unendlich zu tun?

Vielen Dank



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MontyPythagoras
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Hallo flar2,
zum Residuensatz gibt es auf dem MP einen schönen Artikel, siehe hier. Es geht nicht zwangsläufig um Integrationsgrenzen plus/minus unendlich. Durch eine geeignete Substitution kann man schließlich jedes Integral in ein Integral mit Integrationsgrenzen unendlich umformen.

Eine Reihenentwicklung ist hier nicht gerade einfach, aber wohl notwendig, wenn Du ohne numerische Methoden das Integral für beliebige Integralgrenzen berechnen willst.

Ciao,

Thomas



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flar2
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hallo MontePythagoras,

das hilft mir schon einmal weiter. Danke dafür!

Gruss Ralf



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