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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Weshalb gilt a=b ==> a+c=b+c ?
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Kein bestimmter Bereich Weshalb gilt a=b ==> a+c=b+c ?
niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-12


Hallo Zusammen,

natürlich ist die Addition einer Zahl auf beiden Seiten einer Gleichheitsrelation eine Äquivalenzumformung und es gilt a=b <==> a+c=b+c.
Um diese Äquivalenz zu beweisen, kann man bspw. Beide Seiten abarbeiten, doch dafür muss man unter anderem zeigen, dass a=b → a+c=b+c. Wir haben im Studium bei fast 0 angefangen und übliche Rechenregeln etc. streng anhand von Körperaxiomen bewiesen - aber eben nur bei fast 0, und meines Wissens nach nicht gezeigt, weshalb die obige Implikation gilt.
Was verwendet man zum Beweis ebendieser? Weshalb folgt aus der Eindeutigkeit von a, dass die Addition von a auf beiden Seiten einer Gleichheitsrelation den Wahrheitswert der Relation nicht ändert? Ist das ein festgelegtes Axiom?



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-12


"anhand von Körperaxiomen bewiesen"

Also für Körper ist die Sache offensichtlich.

Da reicht bereits die Wohldefiniertheit der Verknüpfung, die Aussage gilt sogar für Magmen.

Interessant ist das bei der Konstruktion der natürlichen Zahlen.

Wichtig:
Ich beziehe mich hierbei allerdings nicht auf die Äquivalenz, sondern auf die Implikation, die du als 2. nanntest.

Die andere Implikation (und somit die Äquivalenz) gilt nicht mehr so allgemein. Hier reicht ein Gruppe. Und damit gilt es selbstverständlich auch für jeden Körper.



-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. smile



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niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-12


Das stimmt natürlich alles, aber wie sähe denn dann der genaue Beweis in der "strukturärmsten" algebraischen Struktur, in der die Aussage gilt, dafür aus? Den hast du ja nicht geführt, den wüsste ich selbst auch nicht anhand konkreter Axiome oder Sätze zu führen.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-12


Hallo,

das hat mit Körperaxiomen usw. nichts zu tun. Das ist ein logisches Grundprinzip: Wenn a und b gleich sind, dann kann a in jeder Aussage durch b ersetzt werden, ohne dass sich der Wahrheitswert ändert. (Interessant ist die umgekehrte Richtung als Definition der Gleichheit, aber das brauchen wir hier gar nicht.) Und so ersetzt man hier in der unzweifelhaft wahren Aussage a+c=a+c eins der a durch b...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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⊗ ⊗ ⊗



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\defi}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}}\)
"Das ist ein logisches Grundprinzip: Wenn a und b gleich sind, dann kann a in jeder Aussage durch b ersetzt werden, ohne dass sich der Wahrheitswert ändert."

Ich muss sagen, dass das sehr ungelungen formuliert ist in meinen Augen.

Das ist kein logisches "Grundprinzip", sondern das gilt nur, wenn die Verknüpfung wohldefiniert ist. Das fällt ja nicht vom Himmel.

@niklasm:
Eine Verknüpfung ist nichts anderes als eine zweistellige Funktion auf der gleichen Menge.
Für eine funktionale Relation R (worüber man dann die Funktion, also die Verknüpfung definiert) wird gefordert:
$(a,b), (a,c) \in R \Rightarrow b = c$

Und daraus ergibt sich sofort deine Frage:

Betrachte a+c = x und b+c = y, wobei a = b gelte.
$((a,c), x) \in R \land ((b,c), y) \in R$
Wegen a = b gilt somit (a,c) = (b,c) und daher (s.o.) folgt: x = y.

Man muss die Wohldefiniertheit einer Verknüpfung ja nicht umsonst beweisen. smile

EDIT: Das sollte der "genaue Beweis" für Magmen sein, der dir vorschwebt, nicht?


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. smile
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-12


2019-10-12 22:41 - LukasNiessen in Beitrag No. 4 schreibt:
"Das ist ein logisches Grundprinzip: Wenn a und b gleich sind, dann kann a in jeder Aussage durch b ersetzt werden, ohne dass sich der Wahrheitswert ändert."

Ich muss sagen, dass das sehr ungelungen formuliert ist in meinen Augen.

Das ist kein logisches "Grundprinzip", sondern das gilt nur, wenn die Verknüpfung wohldefiniert ist. Das fällt ja nicht vom Himmel.
Dass die Formel an sich sinnvoll ist, hab ich selbstverständlich vorausgesetzt. Das logische Grundprinzip hat auch nichts mit der Verknüpfung zu tun, sondern das besteht lediglich darin, dass man gleiches mit gleichem ersetzen darf. Hatte ich eigentlich auch so geschrieben, vielleicht solltest du nicht sofort auf Konfrontationskurs gehen, sondern erstmal nochmal nachlesen.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-12


Ich wollte keinesfalls auf Konfrontation gehen. Da hast du mich falsch verstanden.

Aber es ist kein logisches Grundprinzip, dass wenn man gleiches mit gleichem ersetzt, da stets das Gleiche resultiert.

Da könnte man sich nun irgendeine unsinnige nicht wohldefinierte Verknüpfung überlegen und hätte ein Beispiel.

Edit:
Dass dir das bewusst ist, weiß ich. Mir ging es nur darum, dass dies auch dem Fragesteller klar ist. Denn, wie ich bereits sagte, finde ich nicht, dass dies in deiner Formulierung klar wird.


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Beste Grüße, Lukas Nießen
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-13


2019-10-12 23:05 - LukasNiessen in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber es ist kein logisches Grundprinzip, dass wenn man gleiches mit gleichem ersetzt, da stets das Gleiche resultiert.

Doch, ist es.

en.wikipedia.org/wiki/Equality_(mathematics)#Basic_properties

Und du hast es sogar angewandt. Hier:

Wegen a = b gilt somit (a,c) = (b,c)



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-13


"Und du hast es sogar angewandt"

Das liegt an der Axiomatisierung von Paaren.

Wenn das ein logisches Grundprinzip ist, wieso gilt das dann i.A. nicht für nicht wohldefinierte Verknüpfungen?



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Beste Grüße, Lukas Nießen
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 07:45 - LukasNiessen in Beitrag No. 8 schreibt:
"Und du hast es sogar angewandt"

Das liegt an der Axiomatisierung von Paaren.

Ich weiß, worauf du hinauswillst, aber weil du ja offenbar gerne die Mengenlehre als Grundlage nutzt, sollte dir bekannt sein, dass

(a,c) = {{a},{a,c}}
 
eine mögliche Definition des Paares ist, und dann ist (a,b) = (c,d) <=> a = c und b = d kein Axiom, sondern ein beweisbares Lemma, wobei die Richtung <= eben aus dem logischen Grundprinzip folgt, weil {{a},{a,c}} ein wohlgeformter Ausdruck ist.


Wenn das ein logisches Grundprinzip ist, wieso gilt das dann i.A. nicht für nicht wohldefinierte Verknüpfungen?
 
Das logische Grundprinzip gilt für alle wohlgeformten Ausdrücke.

Zu deiner Frage: bitte nenne mal ein konkretes Beispiel für eine "Verknüpfung", die nicht wohldefiniert ist, und wenn möglich, sogar ein Beispiel, wo das genannte Prinzip deiner Meinung nach nicht gilt.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 08:54 - Triceratops in Beitrag No. 9 schreibt:
 wobei die Richtung <= eben aus dem logischen Grundprinzip folgt, weil {{a},{a,c}} ein wohlgeformter Ausdruck ist.

Ich hätte eher gesagt, dass es, legt man ZFC zugrunde, aus dem Extensionalitätsaxiom folgt.
Denn daraus folgt dann, dass die Elemente gleich sind und dann, wendet man das Axiom erneut an, die Gleichheit der Paare.


bitte nenne mal ein konkretes Beispiel für eine "Verknüpfung", die nicht wohldefiniert ist, und wenn möglich, sogar ein Beispiel, wo das genannte Prinzip deiner Meinung nach nicht gilt.

Ich denke an sowas wie:
Die Faktorgruppe für eine nicht normale Untergruppe definieren.
Ich habe es für die 3. Diedergruppe probiert, konnte es auf die Schnelle aber nicht zu einem Falsum führen.


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Beste Grüße, Lukas Nießen
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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-13


Hallo zusammen.

Ich hab mir über sowas noch nie wirklich Gedanken gemacht und kenne mich definitiv nicht aus.
Ich verstehe das logische Grundprinzip welches genannt wurde so, dass jede Definition die die Äquivalenzrelation "Gleichheit" zugrunde legt bereits wohldefiniert ist (was man evtl. präzisieren müsste).

Demnach wäre das logische Grundprinzip welches genannt wurde die Grundlage für den Beweis, dass die Addition wohldefiniert ist!?

Ist dieses logische Grundprinzip welches genannt wurde eine beweisbare Aussage, oder ist es ein Axiom?

Ich meine das jetzt nicht im Kontext der reelen Zahlen, sondern ganz allgemein in jedem Kontext in dem man in irgendeiner Weise Gleichheit definieren kann.

Ein einfaches Beispiel einer nicht wohldefinierten Abbildung ist der Abstand eines Punktes zu einer Geraden, wenn man ihr definiert als Abstand eines Punktes auf der Geraden zu dem festen Punkt in der Ebene. Die ÄR ist hier die, die alle Punkte auf der Geraden miteinander identifiziert. Hier greift das logische Grundprinzip welches genannt wurde nicht, da die Äquivalenzrelation keine "Gleichheit" ist.
 
Viele Grüße
XST



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-13


Ich verstehe bei dem verlinkten Axiom allerdings nicht, was "Wohlgeformtheit" bedeutet, welche ja vorrausgesetzt wird.

Ich schätze nicht, dass sie in diesem Zusammenhang das Gleiche wie Wohldefiniertheit (wie ich sie in Beitrag No.4 meinte) meint, denn dann wäre es ja kein Axiom, sondern lediglich eine Folgerung, wie ich sie auch in Beitrag No.4 bewies.

Denn dabei benutzte ich nur das Extensionalitätsaxiom von ZFC.

Daher:
- Verstehe ich das falsch und das Extensionalitätsaxiom reicht doch nicht für meine Folgerung b = c => (a,b) = (a,c) (wenn ja, wieso?) oder
- was bedeutet Wohlgeformtheit dann in dem Zusammenhang des Axioms?

Danke!


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. :-)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-10-13


Hallo,

meine Logikvorlesung ist schon eine Weile her, daher korrigiert mich bitte, wenn ich etwas falsches sage.

In einem mathematischen Beweis leitet man aus Axiomen eine Aussage ab. Dieses "man leitet Aussagen ab", muss aber auch wieder gewissen Regeln folgen. Es gibt also einerseits Axiome, andererseits braucht man aber auch noch ein paar andere "logische Grundprinzipien" um aus diesen Axiomen überhaupt neue Erkenntnisse gewinnen zu können. Diese Prinzipien kann man z.B. im Sequenzenkalkül formalisieren. Dieser Kalkül enthält unter anderem die Substitutionsregel, die es erlaubt in einer Aussage Terme durch äquivalente Terme zu ersetzen (hier wird die Notation für Substitutionen erklärt).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 12:57 - Nuramon in Beitrag No. 13 schreibt:
Hallo,

meine Logikvorlesung ist schon eine Weile her, daher korrigiert mich bitte, wenn ich etwas falsches sage.

In einem mathematischen Beweis leitet man aus Axiomen eine Aussage ab. Dieses "man leitet Aussagen ab", muss aber auch wieder gewissen Regeln folgen. Es gibt also einerseits Axiome, andererseits braucht man aber auch noch ein paar andere "logische Grundprinzipien" um aus diesen Axiomen überhaupt neue Erkenntnisse gewinnen zu können. Diese Prinzipien kann man z.B. im Sequenzenkalkül formalisieren. Dieser Kalkül enthält unter anderem die Substitutionsregel, die es erlaubt in einer Aussage Terme durch äquivalente Terme zu ersetzen (hier wird die Notation für Substitutionen erklärt).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]

Das bedeutet, dass die Substitutionsregel als wahr vorausgesetzt wird (Im Rahmen eines vorgegebenen Kalküls)?

Ich hab nie Logik gehört ;D.
Viele Grüße



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-10-13

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2019-10-13 13:11 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 14 schreibt:
Das bedeutet, dass die Substitutionsregel als wahr vorausgesetzt wird (Im Rahmen eines vorgegebenen Kalküls)?
Kann man denke ich so sagen.

2019-10-13 12:49 - LukasNiessen in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich verstehe bei dem verlinkten Axiom allerdings nicht, was "Wohlgeformtheit" bedeutet, welche ja vorrausgesetzt wird.
Die Antwort findet man einen Klick weiter hier. Also auf deutsch: Eine Formel, die man mit den Regeln der gerade betrachteten formalen Sprache bilden kann, ist wohlgeformt. Alle anderen Formeln sind es nicht. (Z.B. so etwas wie $=x\exists-$ wäre in den meisten Sprachen wohl nicht wohlgeformt.)
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