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Mathematik » Strukturen und Algebra » Faser unter Multiplikation mit n ist etale.
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Universität/Hochschule Faser unter Multiplikation mit n ist etale.
xiao_shi_tou_
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13

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Hallo zusammen.
In Mumford, Abelian varieties, Appendix II wird unter Corollar $1$ folgende Aussage forumliert:

Sei $X$ eine algebraische Varietät über einem algebraischen Zahlenkörper $K$ und sei $A$ der Ganzheitsring von $K$.

Sei $\wt{X}$ ein projektives Modell von $X$ (vergl. Lemma $1$) über $Y=\sp{A_S}$, wo $S$ eine multiplikative Teilmenge von $A$ ist.

Sei $x\in \wt{X}(Y)$ und betrachte $x$ als abgeschlossenes Unterschema von $\wt{X}$.
Sei $n^{-1}(x)$ der Pullback von $x$ unter der Multiplikation mit $n$ auf $\wt{X}$.

Dann ist die natürliche Projektion $n^{-1}(x)\to \sp{A_S}$ $\etale$ über allen Punkten $y\in Y$ mit $\char(\kappa(y))\not\mid n$.

Der Beweis beginnt wie folgt:
"This follows from the fact that every component of $n^{-1}(x)$ maps onto $y$ and the number of different geometrical points in the fibre over the point $y$ is equal to the order $\ker(X_y\overset{n}{\to} X_{\overset{\pt}{y}})$ i.e. $n^{2g},g=\dim(X)$ if $\char(\kappa(y)\not\mid n)$..."

Folgendes ist mir nicht klar
$\bul$ Was ist eine "component"? Ist das eine irreduzible Komponente?
$\bul$ Warum sollte jede Komponente von $n^{-1}(x)$ auf $y$ abgebildet werden?  
$\bul$ Was ist $\overset{\pt}{y}$ in $\ker(X_y\overset{n}{\to} X_{\overset{\pt}{y}})$? Ich vermute es ist ein Typo!?
$\bul$ Inwiefern ist $\ker(X_y\overset{n}{\to} X_y)$ eine Ordnung?
Ist hier die Ordnung von $\ker(X_y\overset{n}{\to} X_y)$ gemeint?

Vielen Dank für Eure Hilfe.
$\viele$



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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