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Analysis » Funktionen » Lokale und globale Injektivität
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Universität/Hochschule Lokale und globale Injektivität
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13


Hallo zusammen

Ist es möglich eine Funktion \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) zu finden, welche lokal Injektiv ist aber nicht Global? Wie gehe ich am besten vor?

Vielen Dank

Math_user



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13


Hallo,

ja klar, wähle $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ mit $f(a)=f(b)$, $f(x)\neq f(a)$ für alle $x\in (a,b)$, und $f$ injektiv auf $(a,b)$.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Dumme Frage, aber ist es möglich solche eine Funktion tatsächlich zu konstruieren oder bleibt sie "theoretisch"?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-13


Nö, das bleibt nicht theoretisch. Wenn die Funktion den Anforderungen von Beitrag 1 genügt, so erfüllt sie auch die Aufgabenstellung



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Ich habe mich ein wenig an dieser Funktion versucht, dabei wurde mir klar, dass eine solche Funktion nicht stetig sein kann. Ist die Idee eine Funktion zu bestimmen wie zum Beispiel \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) wobei \(f(x)=\begin{cases}
  1,  & \text{wenn }x\text{ = 0 oder \(\pi\)}\\
  cos(x), & \text{wenn }x\in \text{(0, \(\pi\))}
\end{cases}\)

Diese Funktion sollte eigentlich alle Anforderungen gerecht sein, nicht?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-13


Ja, die genügt den Bedingungen. Du kannst auch einfach eine lineare Funktion auf dem offnen Intervall nehmen. Nimm beispielsweise
\[f(x)=\begin{cases}x,&x\in(a,b)\\|b|+1,&\text{sonst}\end{cases}.\] Warum ist diese lokal injektiv, aber nicht global injektiv?


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionen' von ochen]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 16:47 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Ja, die genügt den Bedingungen. Du kannst auch einfach eine lineare Funktion auf dem offnen Intervall nehmen. Nimm beispielsweise
\[f(x)=\begin{cases}x,&x\in(a,b)\\|b|+1,&\text{sonst}\end{cases}.\] Warum ist diese lokal injektiv, aber nicht global injektiv?


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Funktionen' von ochen]

Weil diese Funktion ausserhalb des offenen Intervalls \((a,b)\) eine konstante Funktion ist und diese per Definition nicht injektiv sein können?



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-13


Richtig. Besser wäre aber die Formulierung $f(a)=|b|+1=f(b)$ mit $a\neq b$. Und wieso ist sie lokal injektiv?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 18:25 - Theodore_97 in Beitrag No. 7 schreibt:
Richtig. Besser wäre aber die Formulierung $f(a)=|b|+1=f(b)$ mit $a\neq b$. Und wieso ist sie lokal injektiv?

Nun, genau da bin ich mir unsicher. Bei dem Eindimensional Fall bin ich mir etwas unsicher. Lokal injektiv heisst ja, in einer Umgebung \(\epsilon\) von x ist die Funktion injektiv oder? Dabei ist mit Umgebung ein offene Kugel gemeint? Wenn ja, dann kann man ja argumentieren, dass in einer Umgebung \(\epsilon:=\frac{a+b}{2}\) von \(x:=\frac{a+b}{2}\) f injektiv ist, da wir ja wissen, dass die Funktion \(f(x):=x\) ist injektiv ist auch ganz \(\mathbb{R}\)... Funktioniert diese Erklärung?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-13


Das stimmt so leider nicht. Abgesehen davon ist $f$ gar nicht auf ganz $\mathbb R$ definiert. Finde für jeden Punkt $x\in[a,b]$ eine Umgebung, auf der $f$ injektiv ist und begründe, warum du glaubst, dass $f$ auf dieser Umgebung injektiv ist.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Kannst du mir bitte die Definition einer Umgebung geben?



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-13


Zeichne dir die Funktion mal auf. Dann betrachte die drei Fälle $x=a$, $x\in (a,b)$ und $x=b$. Zeige mithilfe der Zeichnung, dass $f$ in diesen drei Fällen dann lokal injektiv ist. Ja, eine offene Kugel (in diesem Fall dann ein offenes Intervall um den Punkt) ist eine Umgebung des Punktes.

Nehme zB. den Fall $x\in (a,b)$. Jetzt zeichne diese Punkt in deine Zeichnung auf die $x$-Achse (einfach ein Punkt irgendwo echt zwischen $a$ und $b$). Jetzt definiere ein kleines Intervall um diesen Punkt, sodass die Funktion darauf injektiv ist (dir ist dabei klar, dass die Funktion $x\mapsto x$ auf ganz $(a,b)$ injektiv ist).



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


2019-10-13 20:35 - Theodore_97 in Beitrag No. 11 schreibt:
Zeichne dir die Funktion mal auf. Dann betrachte die drei Fälle $x=a$, $x\in (a,b)$ und $x=b$. Zeige mithilfe der Zeichnung, dass $f$ in diesen drei Fällen dann lokal injektiv ist. Ja, eine offene Kugel (in diesem Fall dann ein offenes Intervall um den Punkt) ist eine Umgebung des Punktes.

Nehme zB. den Fall $x\in (a,b)$. Jetzt zeichne diese Punkt in deine Zeichnung auf die $x$-Achse (einfach ein Punkt irgendwo echt zwischen $a$ und $b$). Jetzt definiere ein kleines Intervall um diesen Punkt, sodass die Funktion darauf injektiv ist (dir ist dabei klar, dass die Funktion $x\mapsto x$ auf ganz $(a,b)$ injektiv ist).


Vielen Dank für deine ausführliche und liebe Antwort. Also ich versuche es mal:
Fall 1) \(x\in(a,b)\): Sei \(\epsilon>0\) und \(x\in(a,b)\), dann existiert für alle solche x eine offenes Intervall \(U_x\)(x,\(\epsilon\)), in dem \(f\) injektiv ist in dieser Umgebung. (\(f(x)=x\) ist ja injektiv)

Fall 2) \(x=a\) oder \(x=b\): In diesem Fall ist \(f(x)=|b|+1\) und es existiert kein \(\epsilon>0\) s.d. \(f\) in dieser Umgebung injektiv (sprich streng monoton) ist. (Es kann ja ein "Sprung" haben, weiss nicht wie ich es mathematisch schreiben kann ^^')




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-10-14



Fall 1) \(x\in(a,b)\): Sei \(\epsilon>0\) und \(x\in(a,b)\), dann existiert für alle solche \(x\) eine offenes Intervall \(U_x\)(x,\(\epsilon\)), in dem \(f\) injektiv ist in dieser Umgebung. (\(f(x)=x\) ist ja injektiv)
Ja, genau das sollst du zeigen. Wähle vielleicht $\min\{x-a,b-x\}$ als $\varepsilon$.


Fall 2) \(x=a\) oder \(x=b\): In diesem Fall ist \(f(x)=|b|+1\) und es existiert kein \(\varepsilon>0\) s.d. \(f\) in dieser Umgebung injektiv (sprich streng monoton) ist. (Es kann ja ein "Sprung" haben, weiss nicht wie ich es mathematisch schreiben kann ^^')
Doch, genau so ein \(\varepsilon\) existiert, ansonsten wäre $f$ ja nicht lokal injektiv und das möchtest du ja gerade zeigen. Hier bietet sich \(b-a\) als \(\varepsilon\) an.



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