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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Galois-Wirkung auf Schema
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Universität/Hochschule Galois-Wirkung auf Schema
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13

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Im Beweis des Mordell-Weil Theorems aus Momford's Buch Abelian Varieties wird in dem "Fundamental Lemma" die Körpererweiterung
$K(n^{-1}x X(K))$ von $K$ definiert, durch Adjunktion von $n^-1x$ wo $x\in X(K)$ ist.

A priori ist $n^{-1}x$ ein $\cl{K}$-wertiger Punkt von $X$, also nicht wirklich eine Menge von Elementen aus $\cl{K}$ die man adjungieren könnte.

Ich nehme mal an folgendes ist gemeint:
Sei $y\in X(\cl{K})$ ein (geometrischer) Punkt. Sei $\sp{A}$ eine affine Umgebung von $y \in X$.
Dann entspricht $y$ einem $K$-Algebra Morphismus $A\to \cl{K}$. Man kann also einen $\cl{K}$-wertigen Punkt von $X$ zu $K$ adjungieren, indem man das Bild dieses $K$-Algebren Morphismus welches in $\cl{K}$ enthalten ist zu $K$ adjungiert.

Nun möchte man zu $K$ genau die $\cl{K}$-wertigen Punkte von $X$ adjungieren, die durch $n\colon X\to X$ auf ein Element $x$ in $X(K)$ abgebildet werden.

Man definiert also $L\colon\defeq K(n^{-1}x X(K))$ genau so, dass die Urbilder von Punkten in $X(K)$ unter $n$ bereits über $L$ definiert sind.

Im Beweis des Fundameltalen Lemmas wird nun von Konjugierten des Punktes $n^{-1}x$ gesprochen. Wir haben eine Wirkung der Galoisgruppe $\Gal(L/K)$ auf den Punkten $X(L)$ durch Vorschalten von $\s^*\colon \sp{L}\to \sp{L}$ wo $\s\in \Gal(\L/K)$ ist.

Das ist aber keine "Konjugation" im Gruppentheoretischen Sinn.
Ist hiermit vielleicht die Menge $\s(\im(n^{-1}x))\s^{-1}\sube \cl{K}$ gemeint, wobei $\im(n^{-1}x)$ hier das Bild von $n^{-1}x\colon A\to \cl{K}$  ist? Wie zeigt man dann, dass die Konjugierten die Form $n^{-1}x+y$ mit $y\in X_n(K)$ haben?

Über Galoswirkungen auf Punkten eines Schemas weiß ich, dass die Galois Orbits in $X(\cl{K})$ mit den abgeschlossenen Punkten von $X$ stehen und dass die Invarianten der $L$-wertigen Punkte unter einer Untergruppe $H$ der Galoisgruppe die $L^H$-wertigen Punkte des Schemas sind. Das bringt mir hier aber nichts.

Vielen Dank für die Hilfe.
$\viele$



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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