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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Addition in endlichen Strukturen: Definition
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Universität/Hochschule Addition in endlichen Strukturen: Definition
marto
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Aus: Vidin, Bulgarien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13


Hallo,
ich bin an Aufgabe 3.6.10 von "Einführung in die Mathematische Logik", 5. Auflage von Ebbinghaus/Flum/Thomas gestolpert. Die Aufgabe hat eine Ausführliche partielle Lösung, hat aber mir nicht gereicht. Hier ist die Aufgabe:

"Eine Menge \(M\) natürlicher Zahlen heißt \(\textit{Spektrum}\), falls es eine Symbolmenge \(S\) und einen \(S\)-Satz \(\phi\) gibt, so dass:

\[M = {n \in N | \phi besitzt ein Modell mit genau n Elementen}}\].

Man zeige:

Für jedes m >= 1 ist die Menge der durch m teilbaren Zahlen > 0 ein Spektrum"

In der Lösung heißt es so:

"Sei S = {<, f, +, ., c, d}" mit einstelligem f. Man kann einen Satz \(\phi\) angeben, dessen endliche Modelle gerade die endlichen S-Strukturen sind U sind, bei denen < eine Anordnung ist mit erstem Element c und letztem Element d und für die weiterhin gilt:

1. ist a das i-te Element der Ordnung, |A| die Anzahl der Elemente im Träger A von U und i < |A|, so ist f(a) das (i + 1)-te Element. f(d) = c.

2. ist a das i-te Element der Ordnung, b das j-te Element der Ordnung und i + j <= |A|, so ist a + b das (i + j)-te Element; Falls i + j > |A|, so a + b = c.

3. ist a das i-te Element der Ordnung, b das j-te Element der Ordnung und i . j <= |A|, so ist a.b das i.j-te Element; falls i.j > |A|, so a.b = c.

Der erste Punkt kann etwa wie folgt symbolisiert werden:

fed-Code einblenden

Meine Frage ist, wie kann man Punkte 2. und 3. mit Ausdrücken erster Stufe Symbolisieren? Ich denke ich brauche nur Punkt 2., danach werde ich die Symbolisierung für Punkt 3. selbst finden können.

Ich freue mich auf Ihre Hilfe. Mit freundlichen Grüßen,
Martin



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13


2. Hier scheint sich eine rekursive Charakterisierung der Addition anzubieten, wobei man die Beschreibung von f als "abgeschnittene" Nachfolgerfunktion aus 1. benutzt:
 
Setze $a + c := f(a)$.

Wenn $b \neq c$, gibt es genau ein $b'$ mit $f(b') = b$. Setze $a + b := f(a + b')$.

Bei 3. geht man dann analog vor, wie du bereits vermutet hast.

Hast du eigentlich noch ein paar Axiome vergessen? Bisher kommt das $m$ in der Aufgabenstellung gar nicht vor.



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marto
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Dabei seit: 18.05.2019
Mitteilungen: 2
Aus: Vidin, Bulgarien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-14



Hallo, vielen Dank für Deine Antwort. Gedanklich schwebte ich auch zu der allgemeinen Definition der Addition für natürliche Zahlen, aber irgendwie dachte ich es sollte noch einfacher gehen für endliche Teilmengen. Auf jeden Fall, kann ich jetzt weitermachen, vielen Dank noch einmal!

Du hast nach m gefragt. Da muss ich mich entschuldigen, ich habe nur auf den Teil im Lösungsvorschlag akzentiert, der für mich schwierig war. In der Lösung haißt es weiter:

"Der Satz
fed-Code einblenden
kann jetzt gewählt werden." Offensichtlich ist dieser Satz nur in endlichen Strukturen mit d Elementen gültig, wo d durch m teilbar ist. Und wie man "x ist das m-te Element von <" als einen Ausdruck erster Stufe symbolisiert ist auch klar.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-14


Ok, das sieht gut aus :).



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