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Mathematik » Analysis » Intervallschachtelungsprinzip vs. Dichteeigenschaft von Q
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Universität/Hochschule Intervallschachtelungsprinzip vs. Dichteeigenschaft von Q
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-13


Hallo,

in der Analysis 1 haben wir einen Satz behandelt, der besagt, dass zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt.

Auf der anderen Seite besagt das Intervallschachtelungsprinzip, dass in jedem noch so kleinen Intervall eine reelle Zahl liegt.

1.) Für mich erscheint das wie ein Widerspruch: Warum gilt das Intervallschachtelungsprinzip dann nicht auch in gleicher Weise für Q?

2.) Oder vielleicht ist mein eigentliches Problem ein anderes: Wie kann es sein, dass man durch Verkleinern eines Intervalls irgendwann bei einem Intervall mit nur einem Element endet? Meine Vorstellung ist, dass egal wie klein mein Intervall wird, ich immer unendlich viele Elemente darin habe (sowohl reelle als auch rationale Zahlen)

3.) Wahrscheinlich ein Klassiker: Wie kann es sein, dass wenn zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt, die reellen Zahlen echt mächtiger sind als die rationalen Zahlen? Für mich hört sich dieser Satz ja so an, dass die Zahlen quasi immer abwechselnd angeordnet sind:
q, r, q, r, q, r, ... (wobei q € Q und r€ R). Dann müsste es ja aber gerade genau gleich viele r's und q's geben?





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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13


1) Das Intervallschachtelungsprinzip gilt nicht für $\IQ$, weil du Intervallschachtelungen angeben kannst, die keinen Schnittpunkt haben (z. B. die üblichen Approximationen für $\sqrt{2}$). Wieso denkst du, dass es auch für $\IQ$ gelten sollte?

2) Es ist nicht so, dass man "irgendwann" (im Sinne von: nach endlich vielen Schritten) bei einem Intervall mit nur einem Element landet. Du hast Recht, dass die Intervalle immer unendlich viele Elemente enthalten, und ja, sowohl unendlich viele reelle als auch unendlich viele rationale Zahlen. Worum es aber geht: bei einer Intervallschachtelung gibt es nur eine Zahl, die in allen Intervallen gleichzeitig drin liegt.

3) Die Anordnung q,r,q,... ist ja nicht "fertig" in dem Sinne, dass du hier noch viele weitere Zahlen zwischen q,r usw. findest. Die Dichtheitsaussage sagt etwas über die Anordnung aus, aber (überhaupt) nichts über die Anzahl.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-13

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Hallo Gast123,

1.) Für mich erscheint das wie ein Widerspruch: Warum gilt das Intervallschachtelungsprinzip dann nicht auch in gleicher Weise für Q?

Das Intervallschachtelungsprinzip besagt nicht, dass in jedem noch so kleinen Intervall immer eine reelle Zahl liegt. Das würde nämlich tatsächlich auch für rationale Zahlen gelten und ist nicht sonderlich spannend. Das Intervallschachtelungsprinzip besagt, dass wenn eine Intervallschachtelung vorliegt, eine reelle Zahl existiert, die in jedem dieser Intervalle enthalten ist. Der Unterschied: Einmal heißt es, dass für jedes Intervall eine reelle Zahl existiert, welche im Intervall enthalten ist. Diese Zahl könnte für jedes Intervall unterschiedlich sein, und sie ist auch nicht eindeutig. Insbesondere existiert auch immer eine rationale Zahl, die das erfüllt. Die viel stärkere Aussage, dass es eine eindeutige Zahl gibt, die gleichzeitig in allen diesen Intervallen enthalten ist, ist nicht dieselbe. Diese zweite Aussage ist das Intervallschachtelungsprinzip.

2.) Oder vielleicht ist mein eigentliches Problem ein anderes: Wie kann es sein, dass man durch Verkleinern eines Intervalls irgendwann bei einem Intervall mit nur einem Element endet? Meine Vorstellung ist, dass egal wie klein mein Intervall wird, ich immer unendlich viele Elemente darin habe (sowohl reelle als auch rationale Zahlen)

Deine Vorstellung ist auch richtig. Was du dir vorstellst, hat aber nichts mit der Aussage des Intervallschachtelungsprinzips zu tun. Das sagt nämlich nur aus, dass es eine reelle Zahl gibt, die in jedem der Intervalle enthalten ist. Man hört nicht einfach bei irgendeinem Intervall auf und sagt dann, dass da ja mehr als ein Element drin ist. Man schaut sich einfach für jede Zahl an, ob sie in jedem Intervall enthalten ist. Laut Intervallschachtelungsprinzip gibt es genau eine Zahl für jede Intervallschachtelung, die das erfüllt. Bei der Intervallschachtelung mit den Intervallen $I_n=[0,\frac{1}{n}]$ ist zum Beispiel die 0 in jedem einzelnen dieser Intervalle enthalten. Das ist es, worum es geht. Es soll nicht irgendwann das Intervall $[0,0]$ da stehen. Es soll einfach nur 0 in jedem der Intervalle $I_n$ enthalten sein.

3.) Wahrscheinlich ein Klassiker: Wie kann es sein, dass wenn zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt, die reellen Zahlen echt mächtiger sind als die rationalen Zahlen? Für mich hört sich dieser Satz ja so an, dass die Zahlen quasi immer abwechselnd angeordnet sind:
q, r, q, r, q, r, ... (wobei q € Q und r€ R). Dann müsste es ja aber gerade genau gleich viele r's und q's geben?

Sie sind eben nicht abwechselnd angeordnet. Vielleicht siehst du mit einer etwas abgewandelten (aber immer noch wahren) Aussage ein, dass die Aussage mit der rationalen Zahl zwischen den reellen Zahlen keine Reihenfolge festlegt.
Aussage: Zwischen zwei reellen Zahlen befinden sich zwei rationale und zwei reelle Zahlen.
Würdest du daraus auch folgern, dass sie abwechselnd angeordnet sind?
Übrigens wirklich ein Klassiker ;)


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13


Vielen, vielen Dank @Triceratops und @Vercassivelaunos. Anscheinend hatte ich bei 1.) und 2.) wohl das Intervallschachtelungsprinzip falsch verstanden. Danke, dass ihr mich da berichtigt habt.

Was wäre dann aber ein Gegenbeispiel, bei dem keine rationale Zahl exisitiert, die in allen Intervallen einer Intervallschachtelung enthalten ist?

Über die Sache mit der Mächtigkeit muss ich wohl noch etwas nachdenken. Ich glaube meine Schwierigkeit liegt ein bischen darin, dass ich mir immer denke, dass es eine kleinste "Einheit" gäbe, also dass man irgendwann so weit hereingezoomt ist, dass es nicht mehr weitergeht. Aber diese Vorstellung ist wohl einfach falsch.

@Vercassivelaunos ganz speziell zu deinem Beispiel bei Frage 3.): Bedeutet das also, dass man zwischen zwei reellen Zahlen zwar immer eine rationale Zahl finden kann, aber eben mehr als eine reelle Zahl? Da dreht man sich dann ja aber im Kreis, weil wenn man zwei reelle Zahlen zwischen den ursprünglichen zwei reellen Zahlen findet, dann muss dazwischen ja auch wieder eine rationale Zahl sein - oder könnte es so sein :
r, r, q, r, r
D.h. also dass die rationale Zahl zwischen mehreren "Paaren" an reellen Zahlen liegt?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-13

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Was wäre dann aber ein Gegenbeispiel, bei dem keine rationale Zahl exisitiert, die in allen Intervallen einer Intervallschachtelung enthalten ist?

das "Standardbeispiel" ist eine Intervallschachtelung, mit der $\sqrt2$ dargestellt wird. Hier ist das relativ ausführlich erklärt. Man kann sich aber auch zum Beispiel eine Intervallschachtelung basteln, die $\pi$ nähert, wenn man alle Stellen von $\pi$ kennt. Wenn $\pi=3.1415926...$ ist, dann definiert man eine Intervallschachtelung

\[I_1=[3,3.2]\\
I_2=[3.1,3.15]\\
I_3=[3.14,3.142]\\
I_4=[3.141,3.1416]\\
I_n=...\]
Also als untere Grenze einfach $\pi$ bis zur $n$-ten Stelle ausschreiben, und als obere Grenze $\pi$ bis zur $n+1$-ten Stelle ausschreiben und aufrunden. Dann ist $\pi$ natürlich bei jedem der Intervalle größer als die untere Grenze, und auch kleiner als die obere Grenze. Diese Intervallschachtelung nähert also $\pi$ und nur $\pi$. Keine andere Zahl ist in jedem der Intervalle enthalten, insbesondere auch keine rationale Zahl.

Über die Sache mit der Mächtigkeit muss ich wohl noch etwas nachdenken. Ich glaube meine Schwierigkeit liegt ein bischen darin, dass ich mir immer denke, dass es eine kleinste "Einheit" gäbe, also dass man irgendwann so weit hereingezoomt ist, dass es nicht mehr weitergeht. Aber diese Vorstellung ist wohl einfach falsch.

Ja, das funktioniert so nicht. Das ist ja gerade die Idee dahinter, dass zwischen zwei Zahlen immer noch eine weitere Zahl liegt (unabhängig davon ob nun rational oder reell). Egal wie nah man reinzoomt, es gibt immer eine noch feinere Unterteilung.

@Vercassivelaunos ganz speziell zu deinem Beispiel bei Frage 3.): Bedeutet das also, dass man zwischen zwei reellen Zahlen zwar immer eine rationale Zahl finden kann, aber eben mehr als eine reelle Zahl?

Ne, man findet zwischen zwei reellen Zahlen immer unendlich viele rationale und unendlich viele irrationale Zahlen. Und eine Reihenfolge kann man dann gar nicht festlegen. Es ist wortwörtlich unmöglich, eine Abzählung zu finden, sodass zwischen zwei "nacheinander" gezählten Zahlen nicht noch eine Zahl liegt. Also wenn du mir irgendeine Reihenfolge der rationalen Zahlen findest, $q_1<q_2<q_3<q_4<\dots$, dann kann ich sie dir kaputt machen, indem ich eine Zahl $q_{1.5}$ finde, welche zwischen $q_1$ und $q_2$ liegt. Deshalb kann man die rationalen Zahlen nicht so abzählen, dass die Abzählung ihre "Reihenfolge" der Größe nach einhält. Und mit den reellen Zahlen funktioniert das erst recht nicht. Deshalb ist es nicht sinnvoll, sich vorzustellen, die rationalen und irrationalen Zahlen seien in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet. Und entsprechend kann man die Reihenfolge auch nicht benutzen, um über die Anzahl der rationalen und irrationalen Zahlen zu diskutieren.
\(\endgroup\)


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Gast123
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.10.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-14


@Vercassivelaunos: Vielen Dank nochmal fuer die ausfuehrliche Antworten! Darueber werde ich jetzt noch ein bischen nachdenken muessen  biggrin



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