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Universität/Hochschule Numerik Hamiltonscher Systeme
lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-14


Hallo,

ich arbeite mich gerade ins Thema der hamiltonschen Systeme ein und habe von Physik überhaupt keine Ahnung. Daher würde ich gerne wissen, ob folgender Gedankengang richtig ist:

Hamiltonsche Systeme sind Systeme von DGLen, die beispielsweise mechanische Systeme beschreiben wie das mathematische Pendel. Nun ist es so, dass physikalisch betrachtet diese mechnaische Systeme bestimmte physikalische Eigenschaften haben, wie die Energieerhaltung. Wendet man einfache und bekannte numerische Verfahren zur Lösung von DGLen auf solche Systeme an, dann erhält man nicht die richtige Lösung, da die numerische Verfahren zB nicht die Eigenschaft der Energieerhaltung haben (bspw. das explizite Euler-Verfahren). Daher muss man auf solche Systeme Verfahren anwenden, die die speziellen Eigenschaften haben oder Größen erhalten.
Solche Verfahren müssen die symplektische Struktur erhalten. Allgemein heißt ein Verfahren symplektisch, wenn es in der Anwendung auf ein Hamilton System eine symplektische Abbildung beschreibt.
Und folgendes ist mir noch sehr unklar: Letzteres ist so gewollt, da der Fluss von Hamilton Systemen symplektisch ist und die numerische Verfahren wegen ihrer Symplektizität Erhaltungsgrößen des Flusses auch erhalten.

Kann mir jemand weiterhelfen? Müssen die Verfahren auch noch andere Eigenschaften als die Symplektizität haben?

Danke!



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


kann mir niemand helfen?



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-23


Hallo,

Dein "Gedankengang" im Themenstart ist soweit in Ordnung, wenn es Dir darum geht, eine kurze Zusammenfassung oder Einleitung in die Numerik Hamiltonscher Systeme zu geben. Zum weiteren Verständnis wäre sicher ein einfaches, durchgerechnetes Beispiel sinnvoll, schaue auch mal in die folgenden Bücher (sofern Du es nicht schon getan hast):

Grüne/Junge: "Gewöhnliche Differentialgleichungen" (dort Kapitel 12 der zweiten Auflage)

Und zur Vertiefung:

Hairer et al: "Geometric Numerical Integration"

Grüße
Juergen



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lissy1234567
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-24


Danke für den Hinweis. Das erste Buch werde ich mir anschauen, mit dem zweiten von Hairer et al arbeite ich schon eine Weile, allerdings finde ich es nicht so der Hammer :D

Könntest du (oder jemand anderes) noch was zu meiner ursprünglichen Frage sagen?

Ich schrieb:
Und folgendes ist mir noch sehr unklar: Letzteres ist so gewollt, da der Fluss von Hamilton Systemen symplektisch ist und die numerische Verfahren wegen ihrer Symplektizität Erhaltungsgrößen des Flusses auch erhalten.

Kann mir jemand weiterhelfen? Müssen die Verfahren auch noch andere Eigenschaften als die Symplektizität haben?



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