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Mathematik » Analysis » Grenzwertsatz für Potenzfolgen
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Schule Grenzwertsatz für Potenzfolgen
turbomath
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.10.2019
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-15


Hallo zusammen,
Wer kennt einen Beweis für den folgenden Grenzwertsatz?

wenn beide Folgen konvergieren.

Herzlichen Dank im Voraus!



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2863
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-15


Hallo,

Es ist wichtig, dass $a>0$ und alle $a_n>0$ sind, denn sonst sind einige Terme nicht definiert. Es gilt $a^b=\exp(b\ln(a))$.
Es folgt $\ln(a_n)\xrightarrow{n\to\infty} \ln(a)$ aus $a_n\xrightarrow{n\to\infty} a$, da die Logarithmusfunktion stetig ist. Weiter folgt $b_n\ln(a_n)\xrightarrow{n\to\infty} b\ln(a)$ aus $\ln(a_n)\xrightarrow{n\to\infty} \ln(a)$ und $b_n\xrightarrow{n\to\infty}b$ mit einem der Grenzwertsätze. Nun nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion.

Also ja, deine Vermutung stimmt.



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turbomath
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.10.2019
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


Hallo ochen,
herzlichen Dank für die schnelle und plausible Antwort!
Beste Grüße
turbomath



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