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Universität/Hochschule Stabilitätsanalyse von numerisch diskretisierten Differentialgleichungen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-15


Ich möchte gerne ein Beispiel aus einem Buch zur Stabilitätsanalyse von Hirt verstehen.

Die Stabilitätsanalyse versucht zu zeigen, ob eine numerisches Lösungsverfahren im Vergleich zu dem zugehörigen analytischen Löser nach unendlich vielen Schritten stabil bleibt.

Also der maximale Fehler zwischen der analytischer und numerischer Lösung darf auch nach mehreren Schritten nicht wachsen um das eine Lösung als stabil gilt.

Die Stabilitätsanalyse nach Hirt versucht Eigeschaften der "Differntialgleichung der Differenzenapproximation" (?) zu untersuchen unter Zuhilfenahme von bekannten Gleichungen.

Als erstes Beispiel wird folgendes angegeben:

hyperbolische Transportgleichung (lineare Advektion):

$u_t+au_x=0$, mit $a=\text{const.}$

Die Diskretisierung wird nun mit Taylor explizit, vorwärts in der Zeit und Rückwärts im Ort vorgenommen:

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}+a\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta x}=0$

Nun steht im Text "Mittels Taylorreihen für u um den Punkt $(x_i, t_n)$ und durch Ersetzen der zweiten
Zeitableitung $u_{tt}$ mit Hilfe der Differentialgleichung"

$u_{tt}=-au_{xt}=-a(u_t)_x=a^2u_{xx}$

welche, wenn ich richtig liege aus der partiellen Ableitung der Advektion nach der Zeit folgt $u_{tt}+au_{xt}=0$.

dadurch soll man nun angeblich die Differentialgleichung der Differenzapproximation erhalten:

$u_t+au_x=(a\frac{\Delta x}{2}-a^2\frac{\Delta t}{2})\cdot u_{xx}+\mathcal{O}(\Delta x^2,\Delta t^2)$

wie dies hergeleitet wird würde ich mir gerne von euch zeigen lassen, den Schritt kann ich nicht nachvollziehen, danach würde ich bei Bedarf weitere Fragen ergänzen, vielleicht verstehe ich aber das Beispiel danach bereits.

Vielen Dank im Voraus!

PS.: Im Internet findet man die Quelle auch z.B. hier auf Seite 42, 43.



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