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Mathematik » Strukturen und Algebra » Eisensteinkriterium
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Universität/Hochschule Eisensteinkriterium
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-16


Hallo,

In meinem Buch ist das Eisensteinsche Reduktionskriterium nur für faktorielle Ringe formuliert. Ebenso auf Wikipedia etc.

Zudem setzt man f als primitiv voraus.

Im Beweis wird dies aber nicht benutzt, nur um noch zu folgern, dass f dann auch noch in Q(R)[X] irreduzibel ist (mit dem Satz von Gauß).

Wäre es also nicht deutlich besser das Kriterium folgendermaßen zu formulieren?

Sei R ein Integritätsbereich und f ein nicht konstantes Polynom. (...) So ist f irreduzibel in R[X].
Ist zudem R faktoriell und f primitiv, so ist f auch in Q(R)[X] faktoriell.


Vielen Dank!


-----------------
Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. :-)



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-16

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Hi Lukas.
Das Kriterium funktioniert auch über Integritätsbereichen:
Sei $f=\sum_{n=0}^N a_nX^n$ ein Polynom über einem Integritätsbereich $R$.
Angenommen es gibt ein Primideal $\pr\sube R$, sodass $a_i\in \pr$ für $i\not =n, a_n\not\in \pr, a_0\not\in \pr^2$
dann kann $f$ nicht das Produkt von zwei nicht-konstanten Polynomen in $R[X]$ sein.

Das Kriterium steht auf Wikipedia.
$\viele$



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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


Alles klar, danke dir.


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne bei Fragen. smile



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-17

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2019-10-16 21:06 - LukasNiessen in Beitrag No. 2 schreibt:
Alles klar, danke dir.

Ich möchte noch etwas anfügen, was ich lerntechnisch sehr wichtig finde.
Das Kriterium meistens in der Situation von faktoriellen Ringen angewendet und grundsätzlich finde ich (vielleicht sehen andere das anders), dass es sinnvoller ist ein Resultat in dem Spezialfall in dem es meistens verwendet wird gut zu verstehen, als zu versuchen jedes Resultat in seiner allgemeinsten Form zu kennen. Falls du dich also erstmal nur auf die wichtigsten Fälle fokusierst wäre das schon gut genug. Falls du wirklich einmal in der Situation bist in der eine allgemeinere Form benötigt wird, dann wird es ein leichtes sein sich dieses auf die schnelle zu erarbeiten, wenn du schon eine Intuition und Erfahrung in einem weniger allgemeinen Fall hast. Dennoch ist es natürlich nicht verkehrt nach dem allgemeinsten Fall zu fragen und es ist schön, dass dir das aufgefallen ist.

Viel Erfolg noch beim weiteren Studium der Algebra.
$\viele$
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